故為二面角的平面角. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問(wèn)中,利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問(wèn)中結(jié)合取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

為直線AE與底面ABC 所成角,

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,

因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

為直線AE與底面ABC 所成角,

………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

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如圖,在三棱柱中,側(cè)面為棱上異于的一點(diǎn),,已知,求:

(Ⅰ)異面直線的距離;

(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.

【解析】第一問(wèn)中,利用建立空間直角坐標(biāo)系

解:(I)以B為原點(diǎn),分別為Y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于,

在三棱柱中有

,

設(shè)

側(cè)面,故. 因此是異面直線的公垂線,則,故異面直線的距離為1.

(II)由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.

 

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如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥側(cè)面AC1
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(1)求證:BE=EB1
(2)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù).
注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).
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(1)證明:在截面A1EC內(nèi),過(guò)E作EG⊥A1C,G是垂足.
①∵
 

∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC的中點(diǎn)F,連接BF,F(xiàn)G,由AB=BC得BF⊥AC,
②∵
 

∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC1于FG.
③∵
 

∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
④∵
 

∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤∵
 

FG=
1
2
AA1=
1
2
BB1
,即BE=
1
2
BB1,故BE=EB1

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如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥側(cè)面AC1.

(Ⅰ)求證:BE=EB1;

(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù).

注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)證明:在截面A1EC內(nèi),過(guò)E作EG⊥A1C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC1于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,

⑤ ∵                    

,故

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