題目列表(包括答案和解析)
如圖,在正四棱錐中,.
(1)求該正四棱錐的體積;
(2)設(shè)為側(cè)棱的中點(diǎn),求異面直線與
所成角的大。
【解析】第一問利用設(shè)為底面正方形中心,則為該正四棱錐的高由已知,可求得,
所以,
第二問設(shè)為中點(diǎn),連結(jié)、,
可求得,,,
在中,由余弦定理,得
.
所以,
給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下:
解:(i)由余弦定理可得,
,
,
,
故是直角三角形.
(ii)設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價(jià)于
,
故是等腰三角形.
綜上可知,是等腰直角三角形.
請(qǐng)問:該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果. .
已知函數(shù).]
(1)求函數(shù)的最小值和最小正周期;
(2)設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為,,,且,,
若,求,的值.
【解析】第一問利用
得打周期和最值
第二問
,由正弦定理,得,①
由余弦定理,得,即,②
由①②解得
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
已知中,內(nèi)角的對(duì)邊的邊長分別為,且
(I)求角的大。
(II)若求的最小值.
【解析】第一問,由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB,
第二問,
三角函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用。
解:(Ⅰ)由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
,,則當(dāng) ,即時(shí),y的最小值為.
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