由余弦定理可得: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學生的解答如下:

解:(i)由余弦定理可得,

,

,

,

是直角三角形.

(ii)設外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價于

,

是等腰三角形.

綜上可知,是等腰直角三角形.

請問:該學生的解答是否正確?若正確,請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結果.           .

 

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給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學生的解答如下:
解:(i)由余弦定理可得,

,
,
是直角三角形.
(ii)設外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價于
,
是等腰三角形.
綜上可知,是等腰直角三角形.
請問:該學生的解答是否正確?若正確,請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結果.          .

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在△ABC中,為三個內(nèi)角為三條邊,

(I)判斷△ABC的形狀;

(II)若,求的取值范圍.

【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算

第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到

所以得到B=2C,然后利用內(nèi)角和定理得到三角形的形狀。

第二問中,

得到。

(1)解:由及正弦定理有:

∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且,∴,;∴B+2C,則A=C,∴是等腰三角形。

(2)

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當時,求證:;

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量

(Ⅰ)求角A的大。

(Ⅱ)若,試判斷b·c取得最大值時△ABC形狀.

【解析】本試題主要考查了解三角形的運用。第一問中利用向量的數(shù)量積公式,且由

(2)問中利用余弦定理,以及,可知,并為等邊三角形。

解:(Ⅰ)

     ………………………………6分

(Ⅱ)

………………………………8分

……………10分

 

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