將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌�小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口處依次放入4個(gè)小球，記 ξ為落入A袋中的小球個(gè)數(shù)，試求ξ=3的概率和ξ的數(shù)學(xué)期望 Eξ；
（3）如果規(guī)定在容器入口處放入1個(gè)小球，若小球落入A袋獎(jiǎng)10 元，若小球落入B袋罰4元，試求所得獎(jiǎng)金數(shù)η的分布列和數(shù)學(xué)期望，并回答你是否參加這個(gè)游戲？

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一、              選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合要求的．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C

B

B

C

A

二、              填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計(jì)算前兩題得分．

9．             10．             11．

12．②③                                13．，

14．，                     15．，

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16.    解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/977002955a8120ae01c6de69b606dd6e.zip/57437/2008年廣東省深圳市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題.files/image216.gif" >，，所以

    ．

因此，當(dāng)，即（）時(shí)，取得最大值；

（Ⅱ）由及得，兩邊平方得

，即．

因此，．

17.    解：（Ⅰ）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件的對立事件為，而小球落入袋中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，故

，

從而；

（Ⅱ）顯然，隨機(jī)變量，故

，

．

18.    解： 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

并設(shè)，則

    （Ⅰ），，

所以，從而得

；

（Ⅱ）設(shè)是平面的

法向量，則由，及

，

得

可以取．

    顯然，為平面的法向量．

    設(shè)二面角的平面角為，則此二面角的余弦值

．

19.    解：（Ⅰ）依題意，有（），化簡得

（），

這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

    （Ⅱ）依題意，可設(shè)、、，則有

，

兩式相減，得，由此得點(diǎn)的軌跡方程為

（）．

    設(shè)直線：（其中），則

，

故由，即，解之得的取值范圍是．

20.    解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率

，

所以直線的方程為．

    又因?yàn)橹本�與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）；

    （Ⅱ）因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/977002955a8120ae01c6de69b606dd6e.zip/57437/2008年廣東省深圳市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題.files/image512.gif" >（），所以

．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，即．因此，有

．

21.    解：（Ⅰ），，；

（Ⅱ）依題意，得，，由此及得

，

即．

    由（Ⅰ）可猜想：（）．

    下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：

    （1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；

    （2）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即有，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及

得，即

，

解之得

（不合題意，舍去），

即當(dāng)時(shí)，命題成立．

    由（1）、（2）知：命題成立．

（Ⅲ）

        ．

令（），則，所以在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，即當(dāng)時(shí)，．

（，）

    ，即（）

    ．

解之得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．