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在棱長(zhǎng)為的正方體中,是線段的中點(diǎn),.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用,得到結(jié)論,第二問(wèn)中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。
第三問(wèn)中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點(diǎn),所以, …………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長(zhǎng)為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
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