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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知函數(shù)。

(1)證明:

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足:,設(shè)

若(2)中的滿(mǎn)足對(duì)任意不小于2的正整數(shù),恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿(mǎn)分14分)已知,點(diǎn)軸上,點(diǎn)軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿(mǎn)足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

(Ⅱ)過(guò)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過(guò)、作軌跡的切線,當(dāng),求直線的方程.

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(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù)

 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

 (2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿(mǎn)分14分)

已知,其中是自然常數(shù),

(1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,;

(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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(本小題滿(mǎn)分14分)

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記。

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;

(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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一、選擇題:C D C C     A D B B

1.C【解析】,而,即

2.D【解析】,,故

3.C【解析】依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人,那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是,即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為,故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為

4.C  5.A

6.D【解析】不難判斷命題為真命題,命題為假命題,從而上述敘述中只有 為真命題

7.B【解析】,若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn),即有正根。當(dāng)有成立時(shí),顯然有,此時(shí),由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為。

8.B      

 

二、填空題:

9.【解析】要結(jié)束程序的運(yùn)算,就必須通過(guò)整除的條件運(yùn)算,而同時(shí)也整除,那么的最小值應(yīng)為的最小公倍數(shù)12,即此時(shí)有。

10.【解析】按二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)為,我們知道的系數(shù)為,即,也即,而是正整數(shù),故只能取1。

11.【解析】易知點(diǎn)C為,而直線與垂直,我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為,故待求的直線的方程為

12.【解析】,故函數(shù)的最小正周期。

 

二、選做題(13―15題,考生只能從中選做兩題)

13.【解析】解得,即兩曲線的交點(diǎn)為

14.

15.【解析】依題意,我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即

 

三、解答題:本大題共6小題,滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

16.解:(1)依題意有,則,將點(diǎn)代入得,而,,故;

(2)依題意有,而,

。

 

17.解:(1)的所有可能取值有6,2,1,-2;,

的分布列為:

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

(2)

(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

依題意,,即,解得

所以三等品率最多為

 

18.解:(1)由,

當(dāng),G點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為,

,點(diǎn)的坐標(biāo)為

由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為,,

即橢圓和拋物線的方程分別為

(2)過(guò)軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

為直角的只有一個(gè),同理為直角的只有一個(gè)。

若以為直角,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解,有兩解,即以為直角的有兩個(gè),

因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

 

19.解:

對(duì)于,

當(dāng)時(shí),函數(shù)上是增函數(shù);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上是減函數(shù),在上是增函數(shù);

對(duì)于,

當(dāng)時(shí),函數(shù)上是減函數(shù);

當(dāng)時(shí),函數(shù)上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。

 

20.解:(1)在中,

,

而PD垂直底面ABCD,

,

中,,即為以為直角的直角三角形。

設(shè)點(diǎn)到面的距離為,

,

,

;

(2),而,

,,是直角三角形;

(3)時(shí),,

,

的面積

21.解:(1)由求根公式,不妨設(shè),得

,

(2)設(shè),則,由

得,,消去,得,是方程的根,

由題意可知,

①當(dāng)時(shí),此時(shí)方程組的解記為

、分別是公比為的等比數(shù)列,

由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,

兩式相減,得

,,

,

,即,

②當(dāng)時(shí),即方程有重根,,

,得,不妨設(shè),由①可知

,,

,等式兩邊同時(shí)除以,得,即

數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列,

綜上所述,

(3)把,代入,得,解得


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