（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是  ▲   ，∠CAC′=  ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（本題滿分10分），觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：

（1）在這列數(shù)中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F（m）， 時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積。

（2）在這列數(shù)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為C，它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)c和d，使cd=2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．

（1）實(shí)驗(yàn)操作： 在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達(dá)的點(diǎn)，并把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)填寫在表格中：

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：任一次平移，點(diǎn)P可能到達(dá)的點(diǎn)在我們學(xué)過的一種函數(shù)的圖象上，如：平移1次后在函數(shù)               的圖象上；平移2次后在函數(shù)              的圖象上……由此我們知道，平移次后在函數(shù)              的圖象上．（請(qǐng)?zhí)顚懴鄳?yīng)的解析式）

（3）探索運(yùn)用：點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)經(jīng)過次平移后，到達(dá)直線上的點(diǎn)Q，且平移的路徑長(zhǎng)不小于50，不超過56，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．