題目列表(包括答案和解析)
在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α,M是AC的中點,P是線段BM上的動點,將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ.
(1)若α=60°且點P與點M重合(如下圖1),線段CQ的延長線交射線BM于點D,請補全圖形,并寫出∠CDB的度數;
(2)在圖2中,點P不與點B,M重合,線段CQ的延長線與射線BM交于點D,猜想∠CDB的大小(用含α的代數式表示),并加以證明;
(3)對于適當大小的α,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B,M重合)時,能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ=QD,請直接寫出α的范圍.
數學探究課上李老師出了這樣一道題:“如圖,正三角形ABC中有一點P,且PA=3,PB=4,PC=5,試求∠APB的度數.”小明和小軍一起討論時發(fā)現了一種求∠APB度數的方法,下面是這種方法的一部分思路.請按照下列思路要求畫圖或判斷.
(1)在圖中畫出△APC繞A點順時針旋轉60°后的圖形△AP1B;
(2)試判斷△AP1P的形狀,并說明理由;
(3)試判斷△BP1P的形狀,并說明理由;
(4)由2,3兩問可知:∠APB=________.
李老師看過后,夸獎了他們,同時提示他們試試以B點或C點為旋轉中點,對某個三角形進行適當地旋轉,看一看是否可以求出∠APB度數.你認為可以嗎?如果可以,給出一種具體的旋轉方法;如果不可以,請說明理由.
在課外小組活動時,小偉拿來一道題(原問題)和小熊、小強交流.
原問題:如圖1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點F.探究線段DF與EF的數量關系.
小偉同學的思路是:過點D作DG⊥AB于G,構造全等三角形,通過推理使問
題得解.
小熊同學說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小強同學經過合情推理,提出一個猜想,我們可以把問題推廣到一般情況.
請你參考小慧同學的思路,探究并解決這三位同學提出的問題:
(1)寫出原問題中DF與EF的數量關系;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明;
(3)如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明.
某校九年級學習小組在探究學習過程中,用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置,現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α(0°<α<90°),如圖(2),AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于點P.
(1)求證:AM=AN;
(2)當旋轉角α=30°時,四邊形ABPE是什么樣的特殊四邊形?并說明理由.
閱讀下列材料,按要求解答問題:
如圖2-1,在ΔABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.小明通過以下計算:由題意,∠B=30°,∠C=90°,c=2b,a=b,得a2-b2=(b)2-b2=2b2=b·c.即a2-b2= bc.
于是,小明猜測:對于任意的ΔABC,當∠A=2∠B時,關系式a2-b2=bc都成立.
(1)如圖2-2,請你用以上小明的方法,對等腰直角三角形進行驗證,判斷小明的猜測是否正確,并寫出驗證過程;
(2)如圖2-3,你認為小明的猜想是否正確,若認為正確,請你證明;否則,請說明理由;
(3)若一個三角形的三邊長恰為三個連續(xù)偶數,且∠A=2∠B,請直接寫出這個三角形三邊的長,不必說明理由.
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