三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就設(shè)計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設(shè)所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當(dāng)直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應(yīng)字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就設(shè)計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設(shè)所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當(dāng)直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應(yīng)字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八�！�按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個格子，則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）
（2）請?zhí)骄康冢?）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少？（簡要寫出探究過程．）
（3）你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎？為解決這個問題，我們先來看下面的解題過程：
用分數(shù)表示無限循環(huán)小數(shù)：0.

•

2

．
解：設(shè)0.

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2

①．等式兩邊同時乘以10，得10x=2.

•

2

②．
將②-①得：9x=2，則x=

2

9

．∴0.

•

2

=

2

9

請參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數(shù)（用冪的形式表示）