在等腰梯形中，，一條直線與下底相交于點(diǎn)，且直線將等腰梯形的周長(zhǎng)平分。 

（1）如圖，若直線與腰相交于點(diǎn)，設(shè)為，試用含的代數(shù)式表示的面積；

（2）是否存在直線將等腰梯形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，指出符合要求的所有直線的特征；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與軸負(fù)半軸上.過(guò)點(diǎn)B、C作直線．將直線平移，平移后的直線與軸交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．

（1）將直線向右平移，設(shè)平移距離CD為(t0)，直角梯形OABC被直線掃過(guò)的面積（圖中陰影部份）為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示， OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4．

①求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積；

②當(dāng)時(shí)，求S關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）在第（1）題的條件下，當(dāng)直線向左或向右平移時(shí)（包括與直線BC重合），在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知：以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點(diǎn)，AB與半圓相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）。（如圖1）過(guò)半圓上的點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D.Rt△DOC的面積為。
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對(duì)稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設(shè)拋物線y=a₀x²+h₀過(guò)點(diǎn)P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過(guò)點(diǎn)P₁、Q₁，則h₀＞h₁”是真命題．請(qǐng)你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進(jìn)行驗(yàn)證；
②當(dāng)圖1中的線段BC在第一象限時(shí)，作線段BC關(guān)于y軸對(duì)稱的線段FE，連接BF、CE，點(diǎn)T是線段BF上的動(dòng)點(diǎn)（如圖3）；設(shè)K是過(guò)T、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)，求K的縱坐標(biāo)y_K的取值范圍．