如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=y毫米，寬MN=x毫米．
（1）求證：y=120-x；
（2）當(dāng)x與y分別取什么值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)矩形PQMN的面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)和寬是關(guān)于t的一元二次方程t²-10pt+200q=0的兩個(gè)根，而p、q的值又恰好分別是a，10，12，13，b這5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a與b的值．

九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁有這樣一道習(xí)題：
“在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖），使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm？”
（1）請(qǐng)你解答上題；
（2）若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形，其余條件不變，求矩形PQMN的面積S的最大值；
（3）我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”，若在習(xí)題的條件下，又知AB=150mm，AC=100mm，請(qǐng)分別寫出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)（不必寫出過程，只要直接寫出答案即可，結(jié)果精確到1mm）；
（4）結(jié)合第（1）、（3）題，若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大，請(qǐng)寫出a與h_a必須滿足的條件（不必寫出過程）．