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(Ⅰ)求證:PD⊥BC, (Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小, (Ⅲ)求點D到平面PBC的闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚敐澶婄闁挎繂鎲涢幘缁樼厱闁靛牆鎳庨顓㈡煛鐏炲墽娲存い銏℃礋閺佹劙宕卞▎妯恍氱紓鍌欒兌閸嬫捇宕曢幎瑙b偓锕傛倻閽樺鎽曢梺鍝勬川閸犳挾绮绘ィ鍐╃厽闁逛即娼ф晶顖炴煟濠靛洦鈷掔紒杈ㄥ浮閹瑩顢楅埀顒勫礉閵堝鐓熼煫鍥ㄦ⒒缁犵偤鏌涢埡鍐ㄤ槐妤犵偛顑夐弫鍌炴寠婢跺鐫忛梺璇叉唉椤煤閺嶎灐褰掑磼閻愬弶杈堥梺璺ㄥ枔婵敻鍩涢幋锔界厵闁兼祴鏅涙禒婊堟煃瑜滈崜姘洪悢鐓庣畺鐟滄垹绮诲☉妯锋婵☆垵鍋愰弸鈧梻鍌欑缂嶅﹤螞閸ф鍊块柨鏇炲€哥壕濠氭倵閿濆骸鏋熼柣鎾存礃閵囧嫰骞囬崜浣瑰仹缂備胶濮甸敃銏ゅ蓟閿濆鍋勯柡澶嬪灥椤洤鈹戦纭烽練婵炲拑绲垮Σ鎰板箳閹冲磭鍠栭幖褰掑捶椤撶喎娅欓梻鍌氬€峰ù鍥敋瑜忛幑銏ゅ箣濠靛牊娈曢梺鍛婄☉閿曪絿鎹㈤崱娑欑厽闁靛繆鎳氶崷顓犵焼閻庯綆鍋佹禍婊堟煛瀹ュ啫濡介柣銊﹀灦閵囧嫰寮崠陇鍚┑顔硷龚濞咃綁骞夐幘顔肩妞ゆ巻鍋撻柛鎾崇秺濮婃椽骞栭悙鎻掝潎婵炲瓨绮忓▔娑㈩敋閿濆鏁冮柨婵嗗暙娴滄繈姊洪崨濠傚闁哄懏绻堝畷銏$鐎n偆鍘甸梺绋跨箺閸嬫劙寮冲鈧弻娑㈠Ω閵夘喚鍚嬮悗瑙勬处閸ㄨ泛顕f繝姘ㄩ柨鏃€鍎抽獮宥夋⒒娴e憡鍟為柛顭戝灦瀹曟劙寮介鐔蜂壕婵ḿ鍋撶€氾拷查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小;
(Ⅲ)求點A到平面PBC的距離.

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如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小;
(Ⅲ)求點A到平面PBC的距離.
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如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2,
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小。

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如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大��;
(Ⅲ)求點A到平面PBC的距離.

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如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大��;
(Ⅲ)求點A到平面PBC的距離.

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           高三數學試卷(文科)                  2009.1

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

A

B

C

C

B

C

二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.

9.x2-=1  10.14    11.160   12.16π, π  13.①②    14.-3x2+6

注:兩空的題目,第一個空2分,第二個空3分.

三、解答題:本大題共6小題,共80分.

15.(本小題滿分12分)

    (Ⅰ)解:因為cos B=2cos2-1=,              …………………………3分

          在△ABC中,由余弦定理b2= a2+c2-2accos B,

          得b2=16+9-24×=22,

          所以b=;                              …………………………6分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知cos B=,B∈(0, π),

           所以sim B=,               …………………………9分

           由三角形的面積公式S=acsin B,

      得S=×4×3×=.

 所以△ABC的面積為.             …………………………12分

16.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解:記“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A.   ……………1分

         由題意,事件A包括以下兩個互斥事件:

①事件B:有2件甲批次產品檢驗不合格.由n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生k次的概率公式,得P(B)=C23;     ……………… 3分

高三數學(文科)答案 第1頁(共8頁)

②事件C:3件甲批次產品檢驗都不合格.由相互獨立事件概率乘法公式,得

P(C)=()3=;

所以,“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”的概率為P(A)= P(B)+ P(C)= ;

……………… 6分

(Ⅱ)解:記“甲批次產品檢驗不合格件數比乙批次產品檢驗不合格件數多2件”為事件D.由題意,事件D包括以下兩個互斥事件:

①     事件E:3件甲批次產品檢驗都不合格,且有1件乙批次產品檢驗不合格.其概率

P(E)=()3C13()1(1-)2=;                  ……………… 9分

②     事件F:有2件甲批次產品檢驗不合格,且有0件乙批次產品檢驗不合格.其概率

P(F)=C23()2(1-).(1-)3=;

所以,事件D的概率為P(D)= P(E)+ P(F)=            …………… 12分

17.(本小題滿分14分)

方法一:(Ⅰ)證明:∵平面PCD⊥平面ABCD.

         又平面PCD∩平面ABCD=CD,BC⊥CD.

         ∴BC⊥平面PCD,        ……………………3分

         ∵PD平面PCD,

    ∴BC⊥PD;            …………………4分

    (Ⅱ)解:取PD的中點E,連接CE、BE,

       ∵△PCD為正三角形,

       ∴CE⊥PD,

       由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD,

       ∴CE是BE在平面PCD內的射影.

       ∴BE⊥PD,

       ∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角,                  ……………………7分

       在△CEB中,∠BCE=90°,BC=2,CE=,

       ∴tan∠CEB==

        ∴二面角B-PD-C的大小為arctan;                …………………10分

高三數學(文科)答案 第2頁(共8頁)

(Ⅲ)解:過D作DF⊥PC于F,

      ∵BC⊥平面PCD,

      ∴BC⊥DF.

             ∵PC∩BC=C.

      ∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,

∴DF為點D到平面PBC的距離,                       …………………13分

  在等邊△PCD中, DC=2, DF⊥PC,

  ∴CF=1,DF=,

∴點A到平面PBC的距離等于.                    …………………14分

方法二:(Ⅰ)證明:取CD的中點為O,連接PO,

   ∵PD=PC,∴PO⊥CD,

   ∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,

   ∴PO⊥平面ABCD,      ………………………2分

    如圖,在平面ABCD內,過O作OM⊥CD交AB于M,

以O為原點,OM、OC、OP分別為x、y、z軸,建立空間

直角坐標系O-xyz,

    則B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-l,0),P(0,0,),

    ∵=(0,-l,-),=(-2,0,0),

    ∴?=0,

    ∴BC⊥PD;                                           …………………4分

(Ⅱ)解:取PD的中點E,連接CE、BE,如(Ⅰ)建立空間坐標系,則E(0,-,),

    ∵△PCD為正三角形,

    ∴CE⊥PD,

        ∵=(-2,-2,0),=(-2,-1,),

        ∴==

∴BE⊥PD,

∴∠CEB為二面角B-PD- C的平面角,               ………………………7分

高三數學(文科)答案 第3頁(共8頁)

 

        ∵=(2,,-),=(0,,-),

        ∴cos∠BEC===

        ∴二面角B-PD- C的大小為arccos                    ……………10分

(III)解:過點D作DF⊥平面PBC于F,

    ∴DF為點D到平面PBC的距離,設=h,

        ∵=(-2,0,0),= (0,-1,),

        ∴=0,即BC⊥CP,

        ∴△PBC的面積S△PBC=|BC|?|PC|=2,

        ∵三棱錐D-PBC的體積VD-PBC=VP-BCD,

        ∴S△PBC=S△BCD,即,解得h=,

        ∴點D到平面PBC的距離為.                         ……………14分

18.(本小題滿分14分)

   (Ⅰ)解:函數f(x)的導數 f′(x)= x2-4x+a,                    ………………2分

         由題意,得f′(2)=-4+a=-1,

         所以a=3,

         故f(x)=x3-2 x2+3 x;                                ………………5分

   (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知f′(x)= x2-4 x+3,

         由f′(x)= x2-4 x+3=0,得x=1,或x=3.

         x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

 

x

(-∞,1)

1

(1,3)

3

(3,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值0

 

………………8分

高三數學(文科)答案 第4頁(共8頁)

所以,當b1或b-13時,函數f(x)無極值;      ……………………10分

          當b-1<1,且b>1時,函數f(x)在x=1時,有極大值,此時函數無極小值;

          當b-1<3,且b>3時,函數f(x)在x=3時,有極小值0,此時函數無極大值;

          當b-11,且b3時, 函數f(x)無極值.   ……………………13分

故當b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)時,函數f(x)無極值;

          當b∈(1,2)時,函數f(x)在x=1時,有極大值,此時函數無極小值;

          當b∈(3,4)時,函數f(x)在x=3時,有極小值0,此時函數無極大值.………14分

19.(本小題滿分14分)

    方法一:(Ⅰ)解:由題意,得F(1,0),直線l的方程為y=x-1.

   由,得x2-6 x +1=0,

          設A,B兩點坐標為A (x1,y1),B(x2,y2),AB中點M的坐標為M(x0,y0),

          則x1=3+2,x2=3-2,y1= x1-1=2+2,y2= x2-1=2―2,

          故點A(3+2,2+2),B(3-2,2-2),            ……………3分

       所以x0==3,y0= x0-1=2,

          故圓心為M(3,2),直徑=

          所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16;          ………………6分

(Ⅱ)解:因為=2,三點A,F,B共線且點A,B在點F兩側,

     所以=,

     設A,B兩點坐標為A (x1,y1),B(x2,y2),則=(x1-1,y1),(1-x2,-y2),

     所以                   ①

     因為點A,B在拋物線C上,

所以y12=4x1,y22=4x2,                    ②           ………………10分

高三數學(文科)答案 第5頁(共8頁)

     由①②,解得    或

     所以A(2,2),B(,-),或A(2,-2),B(,),………13分

     故直線l的方程為2x-y-2=0,或2x+y-2=0.     ………14分

方法二:(Ⅰ)解:由題意,得F(1,0),直線l的方程為y=x-1.

        由,得x2-6x+1=0,

    設A, B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M的坐標為M(x0,y0),

        因為△=62-4=32>0,所以x1+ x2=6, x1x2=1,

        所以x0==3,y0= x0-1=2,故圓心為M(3,2),         ………………3分

        由拋物線定義,得=+=(x1+)+(x2+)= x1+ x2+p=8,

        所以= x1+ x2+P=8(其中p=2).

        所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16;       ………………6分

(Ⅱ)解:因為=2,三點A, F,B共線且點A, B在點F兩側,

   所以=2

   設A, B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2)則=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),

所以                    ①         ………………9分

設直線AB的方程為y= k(x-1)或x=1(不符合題意,舍去).

,消去x得ky2-4y-4k=0,

因為直線l與C相交于A, B兩點,所以k≠0,

則Δ=16+16k2>0,y1+y2=,y1 y2=-4,       ②   

高三數學(文科)答案 第6頁(共8頁)

 由①②,得方程組,解得,……13分

       故直線l的方程為x- y-=0,或 x + y-=0.       ……14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:∵數列{an+Sn}是公差為2的等差數列,

∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,

即an+1=,                                              ……2分

∵a1=1,

∴a2=,a3=;                                             ……4分

(Ⅱ)證明:由題意,得a1-2=-1,

    ∵

∴{an-2}是首項為-1,公比為的等比數列;                    ……8分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得an-2=-()n-1,

    ∴an =2-()n-1,

∵{an+Sn}是首項為a1+ S1=2,公差為2的等差數列,

∴an+Sn=2+(n-1)×2=2n,

∴Sn=2n-2+()n-1,                                        ……9分

設存在整數λ,使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立,

即存在整數λ,使不等式n-1+()n-1λ[2-()n-1]對任意的n∈N*成立,

∴當n=1時,不等式成立,解得λ1,                         ……10分

以下證明存在最大的整數λ=1,使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立.

高三數學(文科)答案 第7頁(共8頁)

當n=2時,不等式化簡為,成立;

當n3時,∵(Sn-n+ 1)-an=n-3+()n-2>0,

           ∴(Sn-n+ 1)>an成立.

綜上,知存在整數λ,使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立,且λ的最大值為1.

                                                                     ……14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數學(文科)答案 第8頁(共8頁)

 


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