19．得分評卷人 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分13分）

已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{}的首項.

（1） 求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在中，若A=2,,BC=2,求的面積

（3） 求數(shù)列的前項和

 

 

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（本小題滿分13分）

已知橢圓經(jīng)過點（p，q），離心率其中p,q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差。

 （1）求橢圓C的方程；

 （2）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為。①試建立的面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系;②莆田十中高三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組通過試驗操作初步推斷：“當(dāng)m變化時，直線與x軸交于一個定點”。你認(rèn)為此推斷是否正確?若正確，請寫出定點坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不正確，請說明理由。

 

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（本小題滿分13分）

某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元. 在演出過程中穿插抽獎活動．第一輪抽獎從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動．第二輪抽獎由第一輪獲獎?wù)擢毩⒉僮靼粹o，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個數(shù)，（，），隨即按如右所示程序框圖運行相應(yīng)程序．若電腦顯示“中獎”，則抽獎?wù)攉@得9000元獎金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎．

（Ⅰ）已知小曹在第一輪抽獎中被抽中，求小曹在第二輪抽獎中獲獎的概率；

（Ⅱ）若小葉參加了此次活動，求小葉參加此次活動收益的期望；

（Ⅲ）若此次募捐除獎品和獎金外，不計其它支出，該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款．問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．

 

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（本小題滿分13分）

隨機(jī)變量X的分布列如下表如示，若數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則稱隨機(jī)變量X服從等比分布，記為Q(,)．現(xiàn)隨機(jī)變量X∽Q(,2)．

X

1

2

…

n

…

(Ⅰ)求n 的值并求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX；

（Ⅱ）一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，…，n且質(zhì)地相同的標(biāo)簽若干張，從中任取1張標(biāo)簽所得的標(biāo)號為隨機(jī)變量X．現(xiàn)有放回的從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標(biāo)簽的標(biāo)號不大于3的概率．

 

 

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（本小題滿分13分）

橢圓：與拋物線：的一個交點為M，拋物線在點M處的切線過橢圓的右焦點F．

(Ⅰ)若M，求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）求橢圓離心率的取值范圍．

 

 

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（本小題滿分13分）

（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1

＝2sin+1.  ……………………………………………5分

因此f（x）的最小正周期為，最小值為－1．……………………………7分

（Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分

而由∈得2+∈．……………………………10分

故2+＝．…………………………………………………………12分

解得＝． ………………………………………………………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以得40分的概率為

P＝×××＝． ………………………………………………5分

（Ⅱ）依題意，該考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故求概率為P（＝20）＝×××＝；

同樣可求得得分為25分的概率為

                                   P（＝25）＝××××+×××+×××＝；

得分為30分的概率為P（＝30）＝；

得分為35分的概率為，P（＝35）＝；

得分為40分的概率為P（＝40）＝．

于是的分布列為

 

20

25

30

35

40

P

 

………………………………………………………………………………11分

故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．

該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為  ………………………………………13分

17．（本小題滿分14分）

解法一：

（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面

ABC，BC1在底面上的射影為CB．

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

所以ACBC1………………………4分

（Ⅱ）過C作CEAB于E，連結(jié)C1E．

由CC1底面ABC可得C1EAB．

故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．

在ABC中，CE＝，

             在RtCC1E中，tanC1EC＝＝，

故所求二面角的大小為arctan．……9分

（Ⅲ）存在點D使AC1∥平面CDB1，且D為AB中點，下面給出證明．

設(shè)BC1與CB1交于點O，則O為BC1中點．連接OD．

在△ABC1中，D，O分別為AB，BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，

∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

故存在點D為AB中點，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分

  解法二：

∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，則

C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

∴?＝0，故ACBC1   ………………………………………………4分

（Ⅱ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），設(shè)平面C1AB的一個法向量為             n＝（x0，y0，z0），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

由得

令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．

則n＝（4，3，3）．

故cos＜m，n＞＝＝．

所求二面角的大小為arccos.   ………………………………………9分

（Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分

18．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）依題意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分

因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a－1，又f（1）＝a，

所以，過（1，f（1））點的直線方程為y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分

又已知圓的圓心為（－1，0），半徑為1，依題意，＝1．

解得a＝1． …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）f ′（x）＝a+.

因為a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分

令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，

f（x）的單調(diào)減區(qū)間是．………………………………………13分

19．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，－），故設(shè)橢圓方程為+＝1．

將點A（1，）代入方程得+＝1，整理得a4－5a2+4＝0，

解得a2＝4或a2＝1（舍）．

故所求橢圓方程為+＝1． …………………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為y＝x+m，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），

代入橢圓方程并化簡得4x2+2mx+m2－4＝0，   …………………………9分

由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．

由x1+x2＝-m，x1x2＝，

故＝＝．

又點A到BC的距離為d＝， …………………………………………11分

故＝?d＝≤?＝，

當(dāng)且僅當(dāng)2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號（滿足＞0）

所以△ABC面積的最大值為． ………………………………………13分

20．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）依題意有yn＝+，于是yn+1－yn＝．

所以數(shù)列是等差數(shù)列． ………………………………………………4分

（Ⅱ）由題意得＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①

所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）．                 ②……………………6分

由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差數(shù)列．那么得

x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，

x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）

故xn＝  ……………………………………………10分

（Ⅲ）當(dāng)n為奇數(shù)時，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；

當(dāng)n為偶數(shù)時，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；

作BnCnx軸，垂足為Cn，則＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必須且只需＝2.

當(dāng)n為奇數(shù)時，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①

當(dāng)n＝1時，a＝；當(dāng)n＝3時，a＝；當(dāng)n≥5時，①式無解．

當(dāng)n為偶數(shù)時，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．

綜上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此時a的值為或 或.  ………………………………………………………………………14分

 


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