設橢圓的離心率為=,點是橢圓C上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設橢圓的離心率為,其左焦點與拋物線的焦點相同.
(Ⅰ)求此橢圓的方程;
(Ⅱ)若過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P,則
(1)求直線l的方程;
(2)橢圓上是否存在點M(x,y),使得,若存在,請說明一共有幾個點;若不存在,請說明理由.

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精英家教網設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1,F2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)求橢圓C的離心率;
(2)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0
相切,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.

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設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,過原點O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,橢圓右焦點F到直線l的距離為
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設P是橢圓上異于M,N外的一點,當直線PM,PN的斜率存在且不為零時,記直線PM的斜率為k1,直線PN的斜率為k2,試探究k1•k2是否為定值?若是,求出定值;若不是,說明理由.

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橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右頂點的坐標分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設橢圓的兩焦點分別為F1,F2,點P是其上的動點,
(1)當△PF1F2內切圓的面積最大時,求內切圓圓心的坐標;
(2)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上.

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設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P是C上的點PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為( �。�

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說明:1.參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數.

      2.對解答題中的計算題,當考生的解答在某一步出現錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.

      3.解答右端所注分數,表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

4.只給整數分數,選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題:本大題主要考查基本知識和基本運算.共10小題,每小題5分,滿分50分.

   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

 

二、填空題:本大題主要考查基本知識和基本運算.本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.

9.    10.        11.         12.  

13.           14.     15.2

說明:第14題答案可以有多種形式,如可答Z等, 均給滿分.

三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)          

解:(1)∵

                                                    ……2分

                                              ……4分     

             .                                             ……6分

.                                                     ……8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 .                    ……10分

此時,即Z.                      ……12分

 

17.(本小題滿分12分)

解:(1)設“這箱產品被用戶接收”為事件,.        ……3分   

即這箱產品被用戶接收的概率為.                             ……4分    

(2)的可能取值為1,2,3.                                       ……5分   

=,                                                

=,                                            

=,                                     ……8分     

的概率分布列為:

1

2

3

……10分

=.                          ……12分

 

18.(本小題滿分14分)

解:(1)∵點A、D分別是、的中點,

.                                     ……2分                   

∴∠=90º.

.

,                                                   

,

⊥平面.                                         ……4分     

平面,

.                                             ……6分      

(2)法1:取的中點,連結

,

.                                      

,

平面.

平面,

.                      ……8分

平面.

平面,

.

∴∠是二面角的平面角.                            ……10分 

在Rt△中, ,

在Rt△中, ,

.                             ……12分          

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                ……14分         

 

法2:建立如圖所示的空間直角坐標系

(-1,0,0),(-2,1,0),(0,0,1).

=(-1,1,0),=(1,0,1),      ……8分

設平面的法向量為=(x,y,z),則:

,                     ……10分

,得,

=(1,1,-1).

顯然,是平面的一個法向量,=().  ……12分            

∴cos<,>=. 

∴二面角的平面角的余弦值是.                 ……14分        

 

 

 

 

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,               ……2分                                       

      ∵,

.                      ……4分                 

∴所求橢圓的方程為.                       ……6分              

(2)∵ 點關于直線的對稱點為

                          ……8分                  

解得:,.                 ……10分                

 

.                                     ……12分            

∵ 點在橢圓:上,

, 則.

的取值范圍為.                ……14分                 

20.(本小題滿分14分)

解:(1)數表中前行共有個數,

即第i行的第一個數是,                         ……2分             

         ∴

,=2010,

∴ i=11.                                              ……4分       

,    

解得.                          ……6分            

(2)∵

.                                    ……7分     

.                   

時, , 則;

時, , 則;

時, , 則;

時, 猜想: .                         ……11分        

下面用數學歸納法證明猜想正確.

① 當時,, 即成立;

② 假設當時, 猜想成立, 即,

  則,

,

.

即當時,猜想也正確.

由①、②得當時, 成立.

時,.                             ……13分              

綜上所述, 當時, ; 當時,.  ……14分       

另法( 證明當時, 可用下面的方法):

時, C + C + C+ C

                    

                    

                     .

            

 

21. (本小題滿分14分)

解:(1)當時,,

.                    

       令=0, 得 .                    ……2分                                  

時,, 則上單調遞增;

時,, 則上單調遞減;

時,, 上單調遞增.       ……4分             

∴ 當時, 取得極大值為;

時, 取得極小值為.       ……6分

(2) ∵ =

∴△= =  .                             

① 若a≥1,則△≤0,                           ……7分              

≥0在R上恒成立,

∴ f(x)在R上單調遞增 .                                                    

∵f(0),,                  

∴當a≥1時,函數f(x)的圖象與x軸有且只有一個交點.     ……9分  

② 若a<1,則△>0,

= 0有兩個不相等的實數根,不妨設為x1,x2,(x1<x2).

∴x1+x2 = 2,x1x2 = a.  

變化時,的取值情況如下表:                       

x

x1

(x1,x2

x2

+

0

0

+

f(x)

極大值

 

極小值

 

                                      ……11分

,

.


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