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題目列表(包括答案和解析)

14、在中學數(shù)學中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維方式．如從指數(shù)函數(shù)中可抽象出f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）的性質(zhì)；從對數(shù)函數(shù)中可抽象出f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）的性質(zhì)，那么從函數(shù)
y=kx（k≠0）
．（寫出一個具體函數(shù)即可）可抽象出f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）的性質(zhì)．

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在中華人民共和國成立60周年的國慶盛典中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂，如果煙花距地面高h米與時t秒之間的關(guān)系為h（t）=-2t2+4
3
t+19．
（1）煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？
（2）當煙花在最高點爆裂時，位于煙花正東方的觀眾甲觀賞煙花的仰角是45°，位于南偏西60°的觀眾乙觀賞煙花的仰角是30°，求這時觀眾甲和觀眾乙相距多遠（觀眾的身高忽略不記）？

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在中學階段，對許多特定集合（如實數(shù)集、復數(shù)集以及平面向量集等）的學習常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個運算，記為⊙，對于A中的任意兩個元素α=（a，b），β=（c，d），規(guī)定：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）．
（1）計算：（2，3）⊙（-1，4）．
（2）請用數(shù)學符號語言表述運算⊙滿足交換律，并給出證明．
（3）若“A中的元素I=（x，y）”是“對?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要條件，試求出元素I．

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12、在中學數(shù)學中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式如從f（x）=lgx可抽象出f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）的性質(zhì)，那么由h（x）=
任意指數(shù)函數(shù)均可，如h（x）=2x
（填一個具體的函數(shù)）可抽象出性質(zhì)h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）．

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在中學階段，對許多特定集合（如實數(shù)集、復數(shù)集以及平面向量集等）的學習常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個運算，記為⊙，對于A中的任意兩個元素α=（a，b），β=（c，d），規(guī)定：α⊙β=(
.
a-c
bd
.
，
.
da
cb
.
)．
（1）計算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）請用數(shù)學符號語言表述運算⊙滿足交換律和結(jié)合律，并任選其一證明；
（3）A中是否存在唯一確定的元素I滿足：對于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，請求出元素I；若不存在，請說明理由；
（4）試延續(xù)對集合A的研究，請在A上拓展性地提出一個真命題，并說明命題為真的理由．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．A     2．D     3．D　    4．C     5．C　   6．B　   7．C　   8．A

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．                  10．60                   11．   

12．(1) (2)               13．1,                  14．,

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（本小題滿分13分）

解:（Ⅰ）設等比數(shù)列的公比為,依題意有,    (1)

又,將(1)代入得.所以.

于是有                             ………………3分

解得或                             ………………6分

又是遞增的,故.                   ………………7分

所以.                                         ………………8分

   (Ⅱ),.                     ………………10分

故由題意可得,解得或.又, …………….12分

所以滿足條件的的最小值為13.                           ………………13分

16. （本小題滿分13分）

解:（Ⅰ）由 且,

   所以.                     …………………4分

   于是. …………7分

  

（Ⅱ）由正弦定理可得,

     所以.                                …………………….10分

由得.         ………………11分

即,

解得.即=7 .                                           …………13分

17．（本小題滿分14分）

解法一：（Ⅰ）∵正方形，∴

又二面角是直二面角，

∴⊥平面.

∵平面，

∴⊥.

又，，是矩形，是的中點，

∴=，，=，

∴⊥又=，

∴⊥平面，

而平面，故平面⊥平面          ……………………5分

 （Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于，在平面內(nèi)作⊥，垂足為，則⊥平面.

        ∴∠是與平面所成的角.                ……………………7分

∴在Rt△中,=.  

 .  

即與平面所成的角為 .                 ………………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作⊥，垂足為，連結(jié)，則⊥，

        ∴∠為二面角的平面角.             ……………………….11分

∵在Rt△中，=，在Rt△中， .

∴在Rt△中，     ………13分

即二面角的大小為arcsin.          ………………………………14分

 

解法二：

如圖，以為原點建立直角坐標系，

則（0，0，0），（0，2，0），

（0，2，2），（，，0），

（，0，0）.

   （Ⅰ） =（，，0），=（，，0）,

         =（0，0，2），

∴?=（，，0）?（，，0）=0,

 ? =（，，0）?（0，0，2）= 0.

∴⊥，⊥，

∴⊥平面，又平面，故平面⊥平面. ……5分

   （Ⅱ）設與平面所成角為.

        由題意可得=（，，0），=（0，2，2 ），=（，，0）.

        設平面的一個法向量為=（，，1），

        由.

          .

∴與平面所成角的大小為.            ……………..9分

   （Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一個法向量，

        又⊥平面，平面的一個法向量=（，0，0），

        ∴設與的夾角為，得，

        ∴二面角的大小為.      ………………………………14分

18. （本小題滿分13分）

解:（Ⅰ）設事件表示甲運動員射擊一次,恰好擊中9環(huán)以上(含9環(huán)),則

.                            ……………….3分

甲運動員射擊3次均未擊中9環(huán)以上的概率為

.                            …………………5分

所以甲運動員射擊3次,至少有1次擊中9環(huán)以上的概率為

.                               ………………6分

    (Ⅱ)記乙運動員射擊1次,擊中9環(huán)以上為事件,則

                        …………………8分

由已知的可能取值是0,1,2.                       …………………9分

;

;

.

的分布列為

0

1

2

0.05

0.35

0.6

                                               ………………………12分

所以

故所求數(shù)學期望為.                          ………………………13分

19. （本小題滿分14分）

解:（Ⅰ）由已知 ,故,所以直線的方程為.

      將圓心代入方程易知過圓心 .      …………………………3分

        (Ⅱ) 當直線與軸垂直時,易知符合題意;        ………………4分

當直線與軸不垂直時,設直線的方程為,由于,

所以由,解得.

故直線的方程為或.        ………………8分

        (Ⅲ)當與軸垂直時,易得,,又則

,故. 即.                   ………………10分

當的斜率存在時,設直線的方程為,代入圓的方程得

.則

,即,

.又由得,

則.

故.

綜上,的值為定值,且.                …………14分

另解一:連結(jié),延長交于點,由(Ⅰ)知.又于,

故△∽△.于是有.

由得

同步練習冊答案