已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1的一個焦點為F(0，2

2

)，與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點（如圖），向量

AB

與向量

m

=(-1，

2

)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

已知點P為圓周x²+y²=4的動點，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點為E，記點E的軌跡方程為C，點A（0，1）
（1）求動點E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點A（0，1）且與曲線C的另一個交點為B，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程；
（3）是否存在方向向量

a

=(1，k)(k≠0)的直線l，使得l與曲線C交與兩個不同的點M，N，且有|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

3

定值，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)M（0，-1），若斜率為k（k≠0）的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，若要使|MA|=|MB|，試求k的取值范圍．

若斜率為k的兩條平行直線l，m經(jīng)過曲線C的端點或與曲線C相切，且曲線C上的所有點都在l，m之間（也可在直線l，m上），則把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．
（1）若曲線C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲線C：y=x³-x（-1≤x≤2），求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式d（k）．

（2009•越秀區(qū)模擬）已知一動圓P（圓心為P）經(jīng)過定點Q（

2

，0），并且與定圓C：(x+

2

)2+y2=16（圓心為C）相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心M，交動圓圓心P的軌跡于A、B兩點．是否存在常數(shù)k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．