已知橢圓C.過點(diǎn)M的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A.B.(Ⅰ)若l與x軸相交于點(diǎn)P.且P為AM的中點(diǎn).求直線l的方程, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M，其左頂點(diǎn)為N，兩個焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），平行于MN的直線l交橢圓于A，B兩個不同的點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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已知橢圓C:，的離心率為，A,B分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過（-1,0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，求POQ的面積的最大時直線l的方程。

 

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已知橢圓C中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P(2，
3
)，點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，橢圓上的點(diǎn)到上焦點(diǎn)F1的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)1為焦點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點(diǎn)，若
PQ
=λ
PR
，求λ的值．
（3）是否存在過點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上、下頂點(diǎn)）且滿足
A1A
•
A1B
=0，若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

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                   高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

 

 

 

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36         10. 10        11. 2, 8      12.      13.        14. 5, 2     

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，                       ----------------------------3分

得.                                 ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以，          ----------------------------7分

則     --------------------------10分

                          

   .

        所以.                             ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.   -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

                                                               ----------------------------6分

      記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：

1事件B1：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為

，             ----------------------------8分

2事件B2：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為

，           ----------------------------10分

所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.

   ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

     為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA與平面ABCD所成角的大小為.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

       為PA與平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

         則, ，                    

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA與平面ABCD所成角的大小為.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                        --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因為，

      所以當(dāng)時，，解得，           ---------------------------2分

          當(dāng)時，，即，解得，

      所以，解得；                                 ---------------------------5分

則，數(shù)列的公差，

所以.                            ---------------------------8分

（Ⅱ）因為

                     ---------------------------9分

        ---------------------------12分

.                       

因為，

所以 .                          -------------------------14分

        注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分.

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設(shè)A(x1, y1)，

因為P為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，

所以，解得，                              -------------------------1分

又因為點(diǎn)A(x1, y1)在橢圓C上，

所以，即，解得，

 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，                      -------------------------3分

所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分

   （Ⅱ）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則

所以，

         則，                   -------------------------7分

         當(dāng)直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；

-------------------------8分

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，

   由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

   消去y得，

   所以，       -------------------------10分

   則，

   所以，

   當(dāng)時，等號成立, 即此時取得最大值1.    -------------------------13分

綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時，有最大值1.  -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當(dāng)時，，

因為，

所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.          ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或，                     --------------------------4分

當(dāng)時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；

當(dāng)時，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分

當(dāng)時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，

又在(0，2)上是增函數(shù)，

              所以，解得，

綜上，a的取值范圍為.                            ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根，

      由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，

      所以，           1

同理，           2       --------------------------11分

當(dāng)時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當(dāng)時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當(dāng)時，因為，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，.                                          ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.

       

     

 

 


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