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某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽后，對考生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100），第二組[100，110），…，第六組[140，150]．如圖所示為其頻率分布直方圖的一部分，第四組，第五組，第六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；（計(jì)算時(shí)可以用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y，若|x-y|≥10，則稱此2人為“黃金幫扶組”，試求選出的2人為“黃金幫扶組”的概率．

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                   高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36         10. 10        11. 2, 8      12.      13.        14. 5, 2     

注：兩空的題目，第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，                       ----------------------------3分

得.                                 ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以，          ----------------------------7分

則     --------------------------10分

   .

        所以.                             ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報(bào)活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.   -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報(bào)活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報(bào)時(shí)，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

                                                               ----------------------------6分

      記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個(gè)互斥事件：

1事件B₁：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為

，             ----------------------------8分

2事件B₂：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為

，           ----------------------------10分

所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.

   ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

     為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA與平面ABCD所成角的大小為.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

       為PA與平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

         則, ，                    

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA與平面ABCD所成角的大小為.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                        --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因?yàn)?sub>，

      所以當(dāng)時(shí)，，解得，           ---------------------------2分

          當(dāng)時(shí)，，即，解得，

      所以，解得；                                 ---------------------------5分

則，數(shù)列的公差，

所以.                            ---------------------------8分

（Ⅱ）因?yàn)?

                     ---------------------------9分

        ---------------------------12分

.                       

因?yàn)?sub>，

所以 .                          -------------------------14分

        注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分.

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設(shè)A(x₁, y₁)，

因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，

所以，解得，                              -------------------------1分

又因?yàn)辄c(diǎn)A(x₁, y₁)在橢圓C上，

所以，即，解得，

 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，                      -------------------------3分

所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分

   （Ⅱ）設(shè)A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，則

所以，

         則，                   -------------------------7分

         當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，其方程為，，此時(shí)；

-------------------------8分

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

   由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

   消去y得，

   所以，       -------------------------10分

   則，

   所以，

   當(dāng)時(shí)，等號成立, 即此時(shí)取得最大值1.    -------------------------13分

綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時(shí)，有最大值1.  -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?sub>，

所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.          ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或，                     --------------------------4分

當(dāng)時(shí)，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；

當(dāng)時(shí)，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分

當(dāng)時(shí)，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，

又在(0，2)上是增函數(shù)，

              所以，解得，

綜上，a的取值范圍為.                            ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因?yàn)榉匠?sub>最多只有3個(gè)根，

      由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，

      所以，           1

同理，           2       --------------------------11分

當(dāng)時(shí)，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因?yàn)?sub>，所以，即；

當(dāng)時(shí)，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因?yàn)?sub>，所以，即；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，.                                          ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.