在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場地上滑行的運(yùn)動．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi))，D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A(0,4)，另一端點(diǎn)C(3,1)，點(diǎn)B(2,0)，單位：m.
(1)求助跑道所在的拋物線方程；
(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m)，試求運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍．
(注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對值)