設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非負實數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當x∈[0，]時，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②對于給定的正整數(shù)m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個不同的實數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x_n}（1≤n≤2^m），求數(shù)列{x_n}所有2^m項的和．

（14分）設(shè)數(shù)列的前項和為。

（I）求證：是等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，求；

（Ⅲ）求使對所有的恒成立的整數(shù)的取值集合。

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²－4n+4.

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（2）設(shè)各項均不為0的數(shù)列{b_n}中，所有滿足b_i?b_i+1<0的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{b_n}的變號數(shù)，令，求數(shù)列{b_n}的變號數(shù)；

（3）試求實數(shù)λ的取值范圍，使得不等式對一切恒成立.

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5