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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點.

（1）求函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值

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（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列{an}中， 

   （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；

   （Ⅱ）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數(shù)n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中a為常數(shù).

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間.

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩籃球運動員進行定點投籃，每人各投4個球，甲投籃命中的概率為，乙投籃命中的概率為

   （Ⅰ）求甲至多命中2個且乙至少命中2個的概率；

   （Ⅱ）若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分數(shù)η的概率分布和數(shù)學期望.

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（本小題滿分12分）已知是橢圓的兩個焦點，O為坐標原點，點在橢圓上，且，圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，并且與橢圓交于不同的兩點A、B.

   （1）求橢圓的標準方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

   （2）當時，求弦長|AB|的取值范圍.

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一．選擇題：DABBB ACACA

解析：1：由題干可得：故選.

2：為拋物線的內(nèi)部（包括周界），為動圓的內(nèi)部（包括周界）.該題的幾何意義是為何值時，動圓進入?yún)^(qū)域，并被所覆蓋.

是動圓圓心的縱坐標，顯然結論應是，故可排除，而當時，（可驗證點到拋物線上點的最小距離為）.故選.

 

3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數(shù)，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B.

 

4：取a＝100，b＝10，此時P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比較可知選PQR，所以選B

5： f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應選B；

 

6：在同一直角坐標系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內(nèi)，所以選A.

7：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，2.5，和3哪個為方程的根，逐一代入，選C.

8：當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側面所成二面角α→π，且小于π；當棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時α→π，且大于π，故選（A）.

9：取滿足題設的特殊函數(shù)f(x)=x，g(x)=|x|,則f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴選(C).

 

10:作直線和圓的圖象,從圖中可以看出:

的取值范圍應選(A).

 

 

二．填空題：11、；  12、；

13、；   14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、；

解析：

11：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和

函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取

值范圍是。

12：　應用復數(shù)乘法的幾何意義，得

　　　　　

　　　　　　，

于是　　　     故應填　

13：中獎號碼的排列方法是：　奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為

  故應填

14：解：由得=，

，化簡得(x－1)2＋(y－1)2＝2

15.解：依題意，=2，5，=15，=

三．解答題：

16.解：（1）由，解之得  ……………………5分

（2）  …………………………9分

         …………………………11分

  …………………………12分

17.解：（I）的取值為1，3，又

            
     
            
      
      
            ξ
            1
            3
            P
             
             
                   ∴ξ的分布列為                                  
…………………………5分
             
                   ∴Eξ=1×+3×=.                       
………………………………6分
               （II）當S8=2時，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知
                   若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；
                   若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次.
                   故此時的概率為…………12分
            18.解：（Ⅰ）∵函數(shù)是奇函數(shù)，則
            即   ∴   …………………………2分
            由得   解得 
            ∴，．   …………………………5分
            （Ⅱ）由（Ⅰ）知，     ∴，
  ………………6分
            當時，  …………………………8分
             ∴，即函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)．   …………………………9分
            （Ⅲ）由＝0，得   …………………………11分
              ∵當，，∴ ， 

             即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)   …………………………13分
            ∴是函數(shù)的最小值點，即函數(shù)在取得最小值.  ………14分
            19.解：（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取中點，連．
            是正三角形，．  …………………………2分
            又底面側面，且交線為．
側面．
            連，則直線與側面所成的角為．
  ……………………4分
            在中，，解得．
            此正三棱柱的側棱長為．  …………………………5分
            （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系．
            則．  …………………………7分
            設為平面的法向量．
            由 得． 
            取                      
…………………………9分
            又平面的一個法向量 
            ． 
            結合圖形可知，二面角的大小為  …………………………11分
             
            （Ⅲ）：由（Ⅱ）得  …………………………12分
            點到平面的距離＝
                                                        
…………………………14分
            20.解：（Ⅰ）當時，原不等式即，解得，
                ∴ 即------------------------------2分
            (Ⅱ)原不等式等價于
            ……………………………………………..4分
            ………………………………………………………..6分
            ∴……8分
            （Ⅲ）∵
            n=1時，；n=2時， 
            n=3時，；n=4時，
            n=5時，；n=6時，…………………………………………9分
            猜想：時 下面用數(shù)學歸納法給出證明
            ①當n=5時，，已證…………………………………………………….10分
            ②假設時結論成立即
            那么n=k+1時，
            在范圍內(nèi)，恒成立,則，即
            由①②可得，猜想正確，即時，…………………………………..  13分
            綜上所述：當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分
            21．解：（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(xiàn)(0，).設直線AB的方程為
                   y=kx+，A(，)，B(，)
                   則，，Q().   …………………………2分
                   由得.
                   ∴由韋達定理得+=2pk，?=－    …………………………3分
                   從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
                   ∴?的取值范圍是.      …………………………4分
              
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得.
                   ∴       =y     .
                   ∴切線NA的方程為：y－即.
                   切線NB的方程為：  …………………………6分
                   由解得∴N()
                   從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同.
                   ∴NQ∥OF.即    …………………………7分
                   又由（Ⅰ）知+=2pk，?=－p
                   ∴N(pk，－).      …………………………8分
                   而M(0，－)  ∴
                   又. ∴.       …………………………9分
              
（Ⅲ）由.又根據(jù)(Ⅰ)知
                   ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分
                   由于=(－pk，p)，  
                   ∴
                   從而.        
…………………………11分
                   又||=，||=
                   ∴.
                   而的取值范圍是［5，20］.
                   ∴5≤5p2≤20，1≤p2≤4.   …………………………13分
                   而p>0，∴1≤p≤2.
                   又p是不為1的正整數(shù).
                   ∴p=2.
                   故拋物線的方程：x2=4y.      …………………………14分
            		
	
	
            
		
            


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