(3) 若對于任意的正整數.當時.都有成立,則稱這樣是函數.現(xiàn)有函數,試判斷是不是函數?并給予證明. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于數列{xn}，如果存在一個正整數m，使得對任意的n（n∈N*）都有xm+n=xn成立，那么就把這樣一類數列{xn}稱作周期為m的周期數列，m的最小正值稱作數列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當xn=2時，{xn}是周期為1的周期數列；當yn=sin(
nπ2
)時，{yn}是周期為4的周期數列．設數列{an}滿足an+2=λ•an+1-an(n∈N*)，a1=1，a2=20．
（1）若數列{an}是周期為3的周期數列，則常數λ的值是
-1
-1
；
（2）設數列{an}的前n項和為Sn，若λ=1，則S2012=
21
21
．

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對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
8
7
}=
1
7
．對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1={a}，an+1=
1
an
  ，an≠0
0， an=0
  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
2
，求a2，a3 并猜想數列{a}的通項公式（不需要證明）；
（2）當a＞
1
4
時，對任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A；
（3）若a是有理數，設a=
p
q
 （p是整數，q是正整數，p，q互質），對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，證明你的結論．

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已知函數，設，

．  

（1）猜測并直接寫出的表達式;此時若設，且關于的函數在區(qū)間上的最小值為，則求的值;

（2）設數列為等比數列，數列滿足，，若 ，，其中,則

①當時，求；

②設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍．

 

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已知函數，設，
．  
（1）猜測并直接寫出的表達式;此時若設，且關于的函數在區(qū)間上的最小值為，則求的值;
（2）設數列為等比數列，數列滿足，，若 ，，其中,則
①當時，求；
②設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍．

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已知數列{an}中，a2=p（p是不等于0的常數），Sn為數列{an}的前n項和，若對任意的正整數n都有Sn=
n(an-a1)
2
．
（1）證明：數列{an}為等差數列；
（2）記bn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
，求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）記cn=Tn-2n，是否存在正整數N，使得當n＞N時，恒有cn∈（
5
2
，3），若存在，請證明你的結論，并給出一個具體的N值；若不存在，請說明理由．

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A．必做題部分

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．　　2．　3．共線　4．20　5．　6．　7．　　8．2，5，10　 9．16.4 　10．1　 11．7 　12．　　13．2 　　14．

二、解答題：

15．解：(1)

　　　

(2)　　　

余弦定理可得

又∵

∴

16．證明  (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 

(2)取CD中點G，連EG、FG，

∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解  當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD

證明  G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角  即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

17．解：（1）依題意，到距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線                                                                                   

  曲線方程是                                                                

（2）設圓心，因為圓過

故設圓的方程                                       

令得：

設圓與軸的兩交點為，則 

在拋物線上，        

所以，當運動時，弦長為定值2                                                   

18．解（1）設日銷售量為

則日利潤

（2）

①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，

∴當x=35時，L（x）取最大值為

②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，

易知當x=a+31時，L（x）取最大值為綜合上得

19．解(1)據題意:

可行域如圖(暫缺)

的幾何意義是定點到區(qū)域內的點連線的斜率,

又

故的取值范圍為

(2)當有零點時,,滿足條件為

由拋物線的下方與圍成的區(qū)域面積

由直線圍成的區(qū)域面積

故有零點的概率

無零點的概率為

 

 (3)是函數.

證明： 符合條件．

因為，

同理：；                                  

．

    所以， 符合條件．              

20．（1）解：由已知：對于，總有 ①成立

∴   （n ≥ 2）② 

①--②得

∴

∵均為正數，∴   （n ≥ 2）

∴數列是公差為1的等差數列                又n=1時，， 解得=1

∴.()  

（2）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.……6分

∴

 

(3)解：由已知  ，      

         

        易得　

        猜想 n≥2 時，是遞減數列.

令

∵當

∴在內為單調遞減函數.

由.

∴n≥2 時, 是遞減數列.即是遞減數列.

又 , ∴數列中的最大項為. 

B．附加題部分

三、附加題部分：

21．（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）將代入得，

        由△可知，

        另一方面，弦長AB，解得；

（2）當時，直線為，要使得內接△ABC面積最大，

則只須使得，

即，即位于（4，4）點處．

 

22．（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件、、；

表示事件“恰有一人通過筆試”

           則

 

   （2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為，

所以，故．

解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件，

則

所以，

，．

于是，．

 

23．（選做題）（本小題滿分8分）

證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，

      ∵E是BD的中點，∴BE=DE，

      又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

      ∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，

      ∴BF：FC=DG：FC，

      又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，

      則BF：FC=1：2；

        （2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，

            則由（1）知BF：BC=1：3，

           又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC的高，

則，則=1：5．

 

 

 

 

 

 

 

 

24．（選做題）（本小題滿分8分）

解：（1）消去參數，得直線的普通方程為；-----------------------2分

即，

兩邊同乘以得，

消去參數，得⊙的直角坐標方程為：

 

（2）圓心到直線的距離，

所以直線和⊙相交．

 

25．（選做題）（本小題滿分8分）

解：MN = =，

    即在矩陣MN變換下，

則，

即曲線在矩陣MN變換下的函數解析式為．

 

 

26．（選做題）（本小題滿分8分）

證明：（1）當時，左邊＝，時成立 

（2）假設當時成立，即

那么當時，左邊

時也成立                  

根據（1）（2）可得不等式對所有的都成立     

 

 

 

 


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