聯(lián)立兩方程解得: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.

活動(dòng):學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時(shí)提示引導(dǎo),因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項(xiàng)、y2項(xiàng),即得兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.

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已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時(shí),

(1)求拋物線的方程;

(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.

【解析】(1)B,C,當(dāng)直線的斜率是時(shí),

的方程為,即                                (1’)

聯(lián)立  得,         (3’)

由已知  ,                    (4’)

由韋達(dá)定理可得G方程為            (5’)

(2)設(shè),BC中點(diǎn)坐標(biāo)為               (6’)

 由       (8’)

    

BC中垂線為             (10’)

                  (11’)

 

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設(shè)橢圓 )的一個(gè)頂點(diǎn)為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 ,過橢圓右焦點(diǎn) 的直線  與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線  的方程;若不存在,說明理由;

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。(1)中橢圓的頂點(diǎn)為,即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。

解:(1)橢圓的頂點(diǎn)為,即

,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

(2)由題可知,直線與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意.                    --------5分

②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線,且,.

,       ----------7分

,,               

   = 

所以,                               ----------10分

故直線的方程為 

 

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已知橢圓=1(其中a>b>0)與直線x+y=1交于P、Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求的值;

(2)若橢圓的離心率e滿足≤e≤,求橢圓長軸的取值范圍.

探究:本題涉及直線與橢圓的交點(diǎn),對于此類問題往往聯(lián)立它們的方程消去其中的一個(gè)未知數(shù),再利用根與系數(shù)間的關(guān)系,從而得到相應(yīng)的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系,再結(jié)合題目中的其它條件將問題解決.

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過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn),作直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

(I)試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;

(II)若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn),試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得 

 (2)中:因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之

設(shè)點(diǎn)N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=

  

KAN+KBN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

 

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