（2012•南京二模）情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數(shù)等于與它所對的弧的度數(shù)，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．如圖1，∠LMN=

1

2

LN

．
問題1  填空：如圖1，如果

LN

的度數(shù)是80，那么∠LMN的度數(shù)是．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續(xù)探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=

1

2

PQ

，∠P=

1

2

RT

．
∴∠O=∠PTQ-∠P=

1

2

PQ

-

1

2

RT

=

1

2

（

PQ

-

RT

）．
經(jīng)歷了上述探索、證明過程，小明發(fā)現(xiàn)了“圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半”這個正確結論．
問題2  填空：如圖2，如果

PQ

=80°，

RT

=20°，那么∠O=°．
問題3  類比情境二的內(nèi)容，請你就角的頂點在圓內(nèi)的情況進行探索．寫出你的發(fā)現(xiàn)，并證明你的結論．

類比學習：
我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的�。�
類似的，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，
新知探索：
圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB=°，
歸納總結：
（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；
（2）圓外角的度數(shù)等于．
新知應用：
直線y=-x+m與直線y=-

3

3

x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，
設∠APC=θ．
①求A點坐標；         ②求⊙E的直徑；
③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．