(Ⅱ)求證:． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構(gòu)造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構(gòu)造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????? 3分

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，當且僅當時�。ⅲ剑ⅲ�

故△ABC面積取最大值為．?????????????????????? 12分

 

18．解：（Ⅰ）設袋中有黑球n個，則每次取出的一個球是黑球的概率為，    3分

設“連續(xù)取兩次，都是黑球”為事件A，∴，???????? 5分

∴，∴．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個球，取到紅球的概率是．???????? 7分

設“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；?????????????????????? 8分

．???????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.?????????? 12分

 

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等邊三角形，設O是AA1的中點，連接BO，則BO⊥AA1．???????????????????????????????? 2分

∵側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面積為，知C到AA1的距離為，，∴△AA1C1是等邊三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．??????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A1到平面ABC的距離為d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC1的一個法向量．∴．???????????????? 11分

∴二面角B－AC－C1的余弦值是．??????????????????? 12分

 

20．解：（Ⅰ）證明：時，，；?????????????? 1分

時，，所以，???????????? 2分

即數(shù)列是以2為首項，公差為2 的等差數(shù)列．????????????? 3分

∴，，???????????????????? 4分

當時，，當時，．???????? 5分

∴ ???????????????????????? 6分

（Ⅱ）當時，，結(jié)論成立．????????????? 7分

當時，?????? 8分

＝

????????????????????? 10分

．???????????????????????? 11分

綜上所述：．????????????????? 12分

 

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數(shù)得，，，．????????????????????????????????? 1分

∴，，，???????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數(shù)有極大值，，極小值．????? 4分

∵函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

∴或或???????????? 5分

解得或或．

故實數(shù)．??????????????????? 6分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象與坐標軸無交點，有如下兩種情況：

（?）當函數(shù)的圖象與x軸無交點時，必須有：

即??????????? 7分

而，函數(shù)的值域為，

∴解得．???????????????????? 8分

（?）當函數(shù)的圖象與y軸無交點時，必須有：

即而有意義，    9分

∴即解得．??????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實數(shù)p的取值范圍是．???????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設，，，，

，，，，

．?????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．???????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ?????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，?????????????????? 8分

∴，

由，?????????????????? 9分

 

，．??????????????????????? 10分

．??????????? 11分

（或）．

設，則，，，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，又，，???????? 13分

∴．???????????????????????????? 14

 


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