(I)證明:(1)連接CD1
∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形
∴A1D1//AD,AD//BC,A1D1=AD,AD=BC;
∴A1D1//BC,A1D1=BC,
∴四邊形A1BCD1為平行四邊形;∴A1B//D1C………3分
∵點E、F分別是棱CC1、C1D1的中點;∴EF//D1C
又∴EF//A1B
又∵A1B平面A1DB,EF面A1DB;
∴EF⊥平面A1BD ………………6分
(II)連結(jié)AC交BD于點G,連接A1G,EG
∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,
底面ABCD是菱形
∴AA1⊥AB,AA1⊥AD,EC⊥BC,EC⊥DC,
AD=AB,BC=CD
∵底面ABCD是菱形,∴點G為BD中點,
∴A1G⊥BD,EG⊥BD
∴∠A1GE為直二面角A1―BD―E的平面角,
∴∠A1GE=90°………………3分
在棱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,
∴∠ABC=120°,
∴AC=
∴AG=GC= ………………10分
在面ACC1A1中,△AGA1,△GCE為直角三角形
∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°,∴∠EGC=∠AA1G,
∴Rt△A1AG∽Rt△ECG ………………12分
解法二:
(I)證明:取AB的中點G,連接GD
∵底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AB=2
∴△ABD是正三角形,∴DG⊥AB,DG=
又∵AB//CD,∴DG⊥DC …………2分
∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1為直四棱柱,AA1//DD1
A1A⊥底面ABCD,∴DD1⊥底面ABCD
以D為坐標(biāo)原點,射線DG為x軸的正半軸,射線DC為y軸的正半軸,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D―xyz.
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