題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設,求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.
【解析】第一問中,當時,,.結(jié)合表格和導數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值,進而得到最值。
第二問中,∵,,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當時,,.
當在上變化時,,的變化情況如下表:
|
- |
+ |
|
||
1/e |
∴時,,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即.
∴對于任意的,原不等式恒成立,等價于對恒成立,
∵對于任意的時, (當且僅當時取等號).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范圍是
已知函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù),
a,b,c為常數(shù),若函數(shù)且
(1)求實數(shù)b,c的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍。
已知函數(shù), 其中且
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設函數(shù) (e是自然對數(shù)的底數(shù)),是否存在a,使g(x)在[a,-a]上是減函數(shù)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設函數(shù)(e是自然對數(shù)的底數(shù)),是否存在a,使在[a,-a]上為減函數(shù)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),且e≈2.718),若f(6-a2)>f(a),則實數(shù)a的取值范圍是________.
三.解答題:
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是………………12分
17.解:記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、,則,且有,即
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為:
18. 解法一 公理化法
(1)當時,取的中點,連接,因為為正三角形,則,由于為的中點時,
∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分
(2)當時,過作于,如圖所示,則底面,過作于,連結(jié),則,為二面角的平面角,
,即二面角的大小為.…………………………………………………8分
即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以為原點,為軸,過點與垂直的直線為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,
又由于二面角是一個銳角,則二面角的大小是.……………………8分
到平面的距離為.………………………………………………………………………12分
則或,所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是,…………………………8分
實數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分
則直線的方程是,則直線過定點.………………………………………8分
而到直線的距離,當且僅當即時取等號.………………………………………………………………10分
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