題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題:(本大題共8小題,每小題5分,共40分.)
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
B
B
A
D
D
C
A
C
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)2 。10),8 。11)(-∞,-1)∪(-1,1) 。12)16,
(13) (14)204,53
三、解答題(本大題共6小題,共80分.)
(15)(共12分)
解:(Ⅰ)由已知可得
f(x)=(cosx+2sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx
=cos2x+3sinxcosx-2sin2x
=(1+cos2x)+sin2x+(cos2x-1)
=(sin2x+cos2x)-=sin(2x+)-…………………6分
由-<2x+<+得: -<x<+…………………8分
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+)(k∈Z).…………9分
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=sin(2x+)-,∴f(x)max=.…10分
所求x的集合.…………………………………12分
(16)(共14分)
方法一:
(Ⅰ)證明:連結(jié)BD交AC于E,連結(jié)ME. ……………………………………1分
∵ABCD是正方形,∴E是BD的中點.∵M是SD的中點,∴ME是△DSB的中位線.
∴ME∥SB. ……………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分
∴SB∥平面ACM. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)解:取AD中點F,則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,連結(jié)MQ. ……………5分
∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.
∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分
設(shè)SA=AB=a,在Rt△MFQ中,MF=SA=,FQ=DE=,
∴tanFQM==.
∴二面角D-AC-M的大小為arctan.……………………………………9分
(Ⅲ)證明:由條件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AM⊥DC.…10分
又∵SA=AD,M是SD的中點,∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分
方法二:
解:(Ⅱ)如圖,以A為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz,5分
由SA=AB,故設(shè)AB=AD=AS=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,).
∵SA⊥底面ABCD,
∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,1).
設(shè)平面ACM的法向量為n=(x,y,z),
=(1,1,0),=(,0,),………………7分
令x=1,則n=(1,-1,-1).………………………………………………………8分
∴cos<,n>===.
∴二面角D-AC-M的大小為arccos.…………………………………………9分
(Ⅲ)∵=,=(-1,-1,1),…………………………………………10分
∴?==0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分
(17)(共12分)
解:(Ⅰ)設(shè)“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A,……1分
P(A)=(0.3)3(0.7)=0.0756………………………………………………4分
答:這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率為0.0756.
(Ⅱ)設(shè)“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B,………………5分
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704………………………………………………8分
答:這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率為0.8704.
(Ⅲ)設(shè)“這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱”的事件為C,………9分
因為有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報,有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%.
所以P(C)=(0.3)2(0.7)2=0.2646………………………………………12分
答:這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱的概率為0.2646.
注:第三問若寫出兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%,后面計算有誤,給到10分.
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)設(shè)拋物線S的方程為y2=2px. …………………………………………………1分
由可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分
由Δ>0,有p>0,或p<-160.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=,
∴x1+x2=(5-)+(5-)=10-=10+…………………………………5分
設(shè)A(x3,y3),由△ABC的重心為F(,0),則,,
∴x3=-10,y3=.
∵點A在拋物線S上,∴=2p().∴p=8.…………………………6分
∴拋物線S的方程為y2=16x. …………………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)動直線PQ的斜率存在時,
設(shè)PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0. ………………………………………8分
設(shè)P(xp,yp),Q(xQ,xQ),
∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
∴?=-1,∴xPxQ+yPyQ=0. …………………………………………………10分
將y=kx+b代入拋物線方程,得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.
從而xPxQ==,∴=0.
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動直線方程為y=kx-16k=k(x-16).
此時動直線PQ過定點(16,0).…………………………………………………12分
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,顯然PQ⊥x軸,又OP⊥OQ,
∴△POQ為等腰直角三角形.
由得到P(16,16),Q(16,-16).
此時直線PQ亦過點(16,0).……………………………………………………13分
綜上所述,動直線PQ過定點M(16,0).………………………………………14分
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),∴(x)=3ax2+2bx-a2(a>0)………1分
依題意有,∴.……………………………2分
解得∴f(x)=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分
(Ⅱ)∵=3ax2+2bx-a2(a>0)
依題意,x1,x2為方程=0的兩個根,且|x1|+|x2|=,
∴(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|=8.
∴∴b2=
∵b2≥0,∴0<a≤6.……………………………………………………………………6分
設(shè)p(a)=
由(a)>0得0<a<4,由(a)<0得a>4.
即函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,4)上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),
∴當(dāng)a=4時,p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96.
∴b的最大值為4.…………………………………………………………………9分
(Ⅲ)證明:∵x1,x2是方程的兩根,
∴=
∵x1?x2=-,x2=a,∴x1=-.
∴|g(x)|=|
∵x1<x<x2,即-<x<a.
∴||=a(x+)(-3x+
∴||=-
≤+a2+=.……………………………………………………14分
∴||≤成立.
(20)(共14分)
解:(Ⅰ)令x=1,y=0∴f(1)f(0)=f(1)+f(1).
∵f(1)=,∴f(0)=2…………………………………………………………1分
令x=0,∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y)即
∴f(y)=f(-y),對任意實數(shù)y總成立,∴f(x)為偶函數(shù).……………………3分
(Ⅱ)令x=y=1,得f(1)f(1)=f(2)+f(0).
∴=f(2)+2.
∴f(2)=.
∴a1=
令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=f(n+1)-f(n).…………………………………………………6分
∴an+1=
=
∴{an}是以6為首項,以2為公比的等比數(shù)列.…………………………………9分
(Ⅲ)結(jié)論:f(x1)<f(x2).
證明:設(shè)y≠0,
∵y≠0時,f(y)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>
∴對于k∈N,總有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立.
∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]
>…>f(y)-f(0)>0.
∴對于k∈N總有f[(k+1)y]>f(ky)成立.
∴對于m,n∈N,若n<m,則有f(ny)<…<f(my)成立.
∵x1,x2∈Q,所以可設(shè)|x1|=,|x2|=,其中q1,q2是非負(fù)整數(shù),p1,p2都是正整數(shù),
則|x1|=,|x2|=.
令y=,t=q1p2,s=p1q2,則t,s∈N.
∵|x1|<|x2|,∴t<s.∴f(ty)<f(sy),即f(|x1|)<f(|x2|).
∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2);
∴f(x1)<f(x2).…………………………………………………………14分
說明:其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.
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