（2006•上海模擬）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，M是邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交邊AB于點(diǎn)P，且AM=BN．
（1）求證：MP=NP；
（2）設(shè)AM=x，四邊形MCBP的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）探索：以線段CM為直徑的圓能否與邊AB相切？如果能夠相切，請(qǐng)求出x的值；如果不能相切，請(qǐng)說明理由．

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q．
（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．
（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG（如圖3）．請(qǐng)你選擇其中的一種方法證明小敏的發(fā)現(xiàn)的是正確的．

（2012•寧德）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：
如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．
（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．
同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）
小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；
小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45°＜α＜135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE²=DE²仍然成立，先請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4）等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．