設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當(dāng)時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當(dāng)時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達(dá)式與點的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時，若，且點的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)，

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當(dāng)時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：

（i）當(dāng)時，；

（ii） 當(dāng)時，，

所以

第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當(dāng)時，

，