設(shè)f(x)＝x³，等差數(shù)列{a_n}中a₃＝7，，記S_n＝，令b_n＝a_nS_n，數(shù)列的前n項和為T_n．

（1）求{a_n}的通項公式和S_n；                  

（2）求證：T_n＜；

（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

設(shè)f(x)＝x³，等差數(shù)列{a_n}中a₃＝7，，記S_n＝，令b_n＝a_nS_n，數(shù)列的前n項和為T_n．

（1）求{a_n}的通項公式和S_n；                  

（2）求證：T_n＜；

（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

設(shè)函數(shù)g(x)=

x

+1，函數(shù)h(x)=

1

x+3

，x∈(-3，a]，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當(dāng)a=

1

4

時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的值域恰為[

1

3

，

1

2

]？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合；若不存在，試說明理由．