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已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線l：x－y＋＝0與以原點(diǎn)為圓心， 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁＋k₂＝4，證明：直線AB過定點(diǎn).

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已知橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k₁，k₂。
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂。

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)的知識和基本運(yùn)算，每題5分，滿分60分。

1 C  2 C  3 D  4 B  5 B  6 C  7 A  8 D  9 A  10 C  11 C  12D

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算。每題4分，滿分16分。

    13．1    14．4     15．3  16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（選對其中兩個即可）

三、解答題:本題共6大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及三角變換的知識，考查運(yùn)算求解能力。

解：（I）由圖象知

    將代入得

    因為，所以

   所以

（II）因為所以

  ，

18．本題考查樣本估計總體，古典概型，頻率分布直方圖等知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問題、解決問題的能力。

 解：（I）百米成績在內(nèi)的頻率為0.32

        0.32

     估計該年段學(xué)生中百米成績在內(nèi)的人數(shù)為320人。

    （II）設(shè)圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x,8x,19x依題意，得

        ,

     設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n個學(xué)生的百米成績，則

     調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個學(xué)生的百米成績。

     （III）百米成績在第一組的學(xué)生數(shù)有，記他們的成績?yōu)?sub>

    百米成績在第五組的學(xué)生數(shù)由，記他們的成績?yōu)?sub>

     則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個成績包含的基本事件有

   其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有

    所以

19．本題主要考查線面平行與垂直關(guān)系，及多面體的體積計算等基礎(chǔ)知識，考察空間想象能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力。

（I）證明：取的重點(diǎn)P，連已知M為CB中點(diǎn)，，且

  由三視圖可知，四邊形為直角梯形，

 ，四邊形ANPM為平行四邊形，，

 又平面平面，平面

（II）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，

 兩兩垂直

 與BA相交于B，

 平面，BC為三棱錐的高

 取的重點(diǎn)，連，四邊形的直角梯形且

 ，四邊形ABQN為正方形，，

又  平面，平面，

且與相交于B，平面

為四棱錐的體積

20．本題主要考查數(shù)列的該概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項及前n項和等基礎(chǔ)知識，考察推理論證能力、函數(shù)與方程思想以及分類與整合思想

   解：（I）時，

       時，

      不是等比數(shù)列

      （II），

     所以當(dāng)時有：

     當(dāng)時有：；

     的最小值為

      （注：作商比較也可）

21．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考察運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合思想。

    解：（I）由題意橢圓的長軸，

       在橢圓上，

       橢圓的方程為

   （II）由直線l與圓O相切得

    設(shè)，由消去，整理得

   由題可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，

的值為

22．本題主要考查函數(shù)與倒數(shù)的基本知識及綜合應(yīng)用知識的能力，考察分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想，考察分析問題和解決問題的能力。

解：（I）由已知得，

    函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），的解是

   的兩個根本分別是1和2，且

   從且，可得

   又得

（II）由（I）得，

時，在上是增函數(shù)，

對當(dāng)x=2時，

要使在上有解，

即

既對任意恒成立，

即對任意恒成立，

設(shè)，則

令得或

在的符號與德單調(diào)情況如下表：

m

（0，1）

1

（1，2）

-

0

+

æ

極小值

ä

時，