為了了解某年段1000名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率．

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為了了解某年段1000名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖3所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8.

（1）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（2）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)；
（3）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率.

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)的知識(shí)和基本運(yùn)算，每題5分，滿分60分。

1 C  2 C  3 D  4 B  5 B  6 C  7 A  8 D  9 A  10 C  11 C  12D

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每題4分，滿分16分。

    13．1    14．4     15．3  16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（選對(duì)其中兩個(gè)即可）

三、解答題:本題共6大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及三角變換的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。

解：（I）由圖象知

    將代入得

    因?yàn)?sub>，所以

   所以

（II）因?yàn)?sub>所以

  ，

18．本題考查樣本估計(jì)總體，古典概型，頻率分布直方圖等知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

 解：（I）百米成績(jī)?cè)?sub>內(nèi)的頻率為0.32

        0.32

     估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)?sub>內(nèi)的人數(shù)為320人。

    （II）設(shè)圖中從左到右前3個(gè)組的頻率分別為3x,8x,19x依題意，得

        ,

     設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)，則

     調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)。

     （III）百米成績(jī)?cè)诘谝唤M的學(xué)生數(shù)有，記他們的成績(jī)?yōu)?sub>

    百米成績(jī)?cè)诘谖褰M的學(xué)生數(shù)由，記他們的成績(jī)?yōu)?sub>

     則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)包含的基本事件有

   其中滿足成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒所包含的基本事件有

    所以

19．本題主要考查線面平行與垂直關(guān)系，及多面體的體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力。

（I）證明：取的重點(diǎn)P，連已知M為CB中點(diǎn)，，且

  由三視圖可知，四邊形為直角梯形，

 ，四邊形ANPM為平行四邊形，，

 又平面平面，平面

（II）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，

 兩兩垂直

 與BA相交于B，

 平面，BC為三棱錐的高

 取的重點(diǎn)，連，四邊形的直角梯形且

 ，四邊形ABQN為正方形，，

又  平面，平面，

且與相交于B，平面

為四棱錐的體積

20．本題主要考查數(shù)列的該概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考察推理論證能力、函數(shù)與方程思想以及分類與整合思想

   解：（I）時(shí)，

       時(shí)，

      不是等比數(shù)列

      （II），

     所以當(dāng)時(shí)有：

     當(dāng)時(shí)有：；

     的最小值為

      （注：作商比較也可）

21．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合思想。

    解：（I）由題意橢圓的長(zhǎng)軸，

       在橢圓上，

       橢圓的方程為

   （II）由直線l與圓O相切得

    設(shè)，由消去，整理得

   由題可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，

的值為

22．本題主要考查函數(shù)與倒數(shù)的基本知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，考察分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想，考察分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

解：（I）由已知得，

    函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），的解是

   的兩個(gè)根本分別是1和2，且

   從且，可得

   又得

（II）由（I）得，

時(shí)，在上是增函數(shù)，

對(duì)當(dāng)x=2時(shí)，

要使在上有解，

即

既對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

設(shè)，則

令得或

在的符號(hào)與德單調(diào)情況如下表：

m

（0，1）

1

（1，2）

-

0

+

æ

極小值

ä

時(shí)，