題目列表(包括答案和解析)
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(本小題滿分8分)
某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃,苗圃的一邊靠圍墻(墻的長度不限),另三邊用木欄圍成,建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD。已知木欄總長為120米,設AB邊的長為x米,長方形ABCD的面積為S平方米.
1.(1)求S與x之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).當x為何值時,S取得最值(請指出是最大值還是最小值)?并求出這個最值;
2.(2)學校計劃將苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓,其圓心分別為和,且到AB、BC、AD的距離與到CD、BC、AD的距離都相等,并要求在苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面,以方便同學們參觀學習.當(l)中S取得最值時,請問這個設計是否可行?若可行,求出圓的半徑;若不可行,清說明理由.
(本小題滿分12分)
如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知,,△ABC的面積,拋物線
經(jīng)過A、B、C三點。
1.(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
2.(2)設E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
(本小題滿分10分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(0°<<180°),得到△A1B1C.
(1)如圖1,當AB∥CB1時,設A1B1與BC相交于點D.證明:△A1CD是等邊三角形;
(2)如圖2,連接AA1、BB1,設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2.
求證:S1∶S2=1∶3;
(3)如圖3,設AC的中點為E,A1B1的中點為P,AC=a,連接EP.當等于多少度時,EP的長度最大,最大值是多少?
一、選擇題
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C
二、填空題
13.9 14. 15. BD=CD,OE=OF,DE∥AC等 16.4 17.15
三、解答題
18.
(1)解: ................................................ 1分
...................................................... 2分
....................................................... 3分
(2)解:解①得>-2 ................................................ 4分
解②得<3 .................................................. 5分
∴此不等式組的解集是-2<x<3 ................................... 6分
解集在數(shù)軸上表示正確 .............................................. 7分
19.
(1)證明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF
∵AC∥DF,∴∠F=∠ACB ............................................ 1分
∵BE=CF,∴BE+EC= CF + EC即BC=EF ............................... 2分
∴△ABC≌△DEF
∴AB=DE............................. 3分
(2)解:過點O作OG⊥AP于點G
連接OF ........................... 4分
∵ DB=10,∴ OD=5
∴ AO=AD+OD=3+5=8
∵∠PAC=30°
∴ OG=AO=cm............... 5分
∵ OG⊥EF,∴ EG=GF
∵ GF=
∴ EF=
20.解:組成的所有坐標列樹狀圖為:
.................... 5分
或列表為:
.................... 5分
方法一:根據(jù)已知的數(shù)據(jù),點不在第二象限的概率為
方法二:1- ................................................. 8分
21.解:設康乃馨每支元,水仙花每支元 ............................. 1分
由題意得: ......................................... 4分
解得: ..................................................... 6分
第三束花的價格為 ................................ 7分
答:第三束花的價格是17元. ...................................... 8分
22.解:(1)設CD為千米,
由題意得,∠CBD=30°,∠CAD=45°
∴AD=CD=x .................... 1分
在Rt△BCD中,tan30°=
∴ BD= ................... 2分
AD+DB=AB=40
∴ ............... 3分
解得 ≈14.7
∴ 牧民區(qū)到公路的最短距離CD為14.7千米. ......................... 4分
(若用分母有理化得到CD=
(2)設汽車在草地上行駛的速度為,則在公路上行駛的速度為3,
在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴ AC=CD
方案I用的時間........................ 5分
方案II用的時間..................................... 6分
∴
= .................................................... 7分
∵ >0
∴ >0 ...................................................... 8分
∴方案I用的時間少,方案I比較合理 ............................... 9分
23.解:(1) .......................................... 1分
解得: .................................................. 2分
∴點P的坐標為(2,) ........................................... 3分
(2)將代入
∴ ,即OA=4................................................... 4分
做PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2
∵ tan∠POA=
∴ ∠POA=60° ................................................... 5分
∵ OP=
∴△POA是等邊三角形. ............ 6分
(3)① 當0<t≤4時,如圖1
在Rt△EOF中,∵∠EOF=60°,OE=t
∴EF=t,OF=t
∴S=?OF?EF=.............. 7分
當4<t<8時,如圖2
設EB與OP相交于點C
易知:CE=PE=t-4,AE=8-t
∴AF=4-,EF=(8-t)
∴OF=OA-AF=4-(4-t)=t
∴S=(CE+OF)?EF
=(t-4+t)×(8-t)
=-+4t-8................ 8分
② 當0<t≤4時,S=, t=4時,S最大=2
當4<t<8時,S=-+4t-8=-(t-)+
t=時,S最大=
∵>2,∴當t=時,S最大=........................... 9分
24.解:(1)設拋物線的解析式為 ......................... 1分
將A(-1,0)代入: ∴ .................... 2分
∴ 拋物線的解析式為,即:.............. 3分
(2)是定值, ........................................... 4分
∵ AB為直徑,∴ ∠AEB=90°,∵ PM⊥AE,∴ PM∥BE
∴ △APM∽△ABE,∴ ①
同理: ② .............................................. 5分
① + ②: .................................... 6分
(3)∵ 直線EC為拋物線對稱軸,∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB為等腰直角三角形.
∴ ∠EAB=∠EBA=45° ........... 7分
如圖,過點P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四邊形PHEM是矩形,
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°, ∠EAB=∠BPH=45°
∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴ �、�.......... 8分
在△MEP和△EGF中,
∵ PE⊥FG, ∴ ∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP
∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴ �、�
由①、②知:.............................................. 9分
(本題若按分類證明,只要合理,可給滿分)
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