(Ⅱ)數(shù)列時(shí).證明當(dāng)時(shí)., 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)n≥1時(shí)，Sn+1是an+1與Sn+1+k的等比中項(xiàng)（k≠0）．
（1）求證：對(duì)于n≥1有
1
Sn
-
1
Sn+1
=
1
k
；
（2）設(shè)a1=-
k
2
，求Sn；
（3）對(duì)n≥1，試證明：S1S2+S2S3+…+SnSn+1＜
k2
2
.

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數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，sn為其前n項(xiàng)的和，對(duì)于n∈N*，總有an，sn，an2成等差數(shù)列．
（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)的和為Tn，數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)的和為Rn，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Rn-1=n（Tn-1）
（3）設(shè)An為數(shù)列{
2an-1
2an
}的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式An
2an+1
＜a對(duì)一切n∈N+都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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數(shù)列{an}，{bn}滿足：
an+1=kan+n
bn=an-
2
3
n+
4
9
，(k∈R)．
（1）當(dāng)a1=1時(shí)，求證：{an}不是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)k=-
1
2
時(shí)，試求數(shù)列{bn}是等比數(shù)列時(shí)，實(shí)數(shù)a1滿足的條件；
（3）當(dāng)k=-
1
2
時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a1，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有
1
3
≤Sn≤
2
3
成立（其中Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和），若存在，求出a1的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

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數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正值，a1，對(duì)任意n∈N*，
a
2
n+1
-1=4an(an+1)，bn=log2（an+1）都成立．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)k＞7且k∈N*時(shí)，證明對(duì)任意n∈N*都有
1
bn
+
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
bnk-1
＞
3
2
成立．

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數(shù)列{an}中a1=2，an+1=
1
2
(an+
1
an
)，{bn}中bn • log9
an+1
an-1
=1，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥3（n∈N*）時(shí)，證明：
1
4
b1
+(-1)
+
2
4
b2
+(-1)2
+
3
4
b3
+(-1)3
+…+
n
4
bn
+(-1)n
＜3．

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一、選擇題（每小題5分，共12小題，滿分60分）

2,4,6

二、填空題（每小題4分，共4小題，滿分16分）

13．800    14．    15．625    16．②④

三、解答題（本大題共6小題，滿分74分）

17．解

   （Ⅰ）由題意知

……………………3分

……………………4分

的夾角

……………………6分

（Ⅱ）

……………………9分

有最小值。

的最小值是……………………12分

18．解：

（Ⅰ）設(shè)“一次取出3個(gè)球得4分”的事件記為A，它表示取出的球中有1個(gè)紅球和2個(gè)黑球的情況

則……………………4分

（Ⅱ）由題意，的可能取值為3、4、5、6。因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏�，所以每次取到紅球的概率為……………………6分

的分布列為

3

4

5

6

P

……………………10分

19．解：

連接BD交AC于O，則BD⊥AC，

連接A1O

在△AA1O中，AA1=2，AO=1，

∠A1AO=60°

∴A1O2=AA12+AO2－2AA1?Aocos60°=3

∴AO2+A1O2=A12

∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥

平面ABCD，

所以A1O⊥底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

則

∴BD⊥AA1……………………4分

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C

∴平面AA1C1C的法向量

設(shè)⊥平面AA1D

則

得到……………………6分

所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP//平面DA1C1

設(shè)

則

得……………………9分

設(shè)

則設(shè)

得到……………………10分

又因?yàn)?sub>平面DA1C1

則?

即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP……………………12分

法二：在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA1C­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD，

又底面為菱形，所以AC⊥BD

      
   
      
    
    
      
    
      ……………………4分
      （Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
      ∴AO=AA1?cos60°=1
      所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以
      O也是BD中點(diǎn)
      由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
      過(guò)O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則AA1⊥DE
      則∠DEO為二面角D―AA1―C的平面角
      ……………………6分
      在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
      ∴AC=AB=BC=2
      ∴AO=1，DO=
      在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=
      DE=
      ∴cos∠DEO=
      ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分
      （Ⅲ）存在這樣的點(diǎn)P
      連接B1C，因?yàn)锳1B1ABDC
      ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。
      ∴A1D//B1C
      在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP……………………10分
      因B­1­BCC1，……………………12分
      ∴BB1CP
      ∴四邊形BB1CP為平行四邊形
      則BP//B1C
      ∴BP//A1D
      ∴BP//平面DA1C1
      20．解：
      （Ⅰ）
      令……………………2分
      當(dāng)是增函數(shù)
      當(dāng)是減函數(shù)……………………4分
      ∴……………………6分
      （Ⅲ）（i）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
      ……………………7分
      又當(dāng)時(shí)，所以的圖象在上有公共點(diǎn)，等價(jià)于…………8分
      解得…………………9分
      （ii）當(dāng)時(shí)，上是增函數(shù)，
      ∴
      所以原問(wèn)題等價(jià)于
      又
      ∴無(wú)解………………11分
       
       
       
       
       
       
      		
      
	
	
      
		
      


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