19．如圖.棱柱ABCD―A1B1C1D1的所有棱長都等于2.∠ABC=60°.平面AA1C1C⊥平面ABCD.∠A1AC=60°. (Ⅰ)證明:BD⊥AA1, (Ⅱ)求二面角D―A1A―C的平面角的余弦值, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）

       如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC  D．

   （1）證明：BD⊥AA1；

   （2）證明：平面AB1C//平面DA1C1

     （3）在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

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（本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD—的底面為菱 形 ，AC∩BD=O側(cè)棱⊥BD,點F為的中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）證明：平面平面.

 

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（本小題滿分12分）

       如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC  D．

   （1）證明：BD⊥AA1；

   （2）證明：平面AB1C//平面DA1C1

     （3）在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

 

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（本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD—的底面為菱 形 ，AC∩BD=O側(cè)棱⊥BD,點F為的中點．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面.

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（本小題滿分12分）
如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC  D．
（1）證明：BD⊥AA1；
（2）證明：平面AB1C//平面DA1C1
    （3）在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

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一、選擇題（每小題5分，共12小題，滿分60分）

2,4,6

二、填空題（每小題4分，共4小題，滿分16分）

13．800    14．    15．625    16．②④

三、解答題（本大題共6小題，滿分74分）

17．解

   （Ⅰ）由題意知

……………………3分

……………………4分

的夾角

……………………6分

（Ⅱ）

……………………9分

有最小值。

的最小值是……………………12分

18．解：

（Ⅰ）設(shè)“一次取出3個球得4分”的事件記為A，它表示取出的球中有1個紅球和2個黑球的情況

則……………………4分

（Ⅱ）由題意，的可能取值為3、4、5、6。因為是有放回地取球，所以每次取到紅球的概率為……………………6分

的分布列為

3

4

5

6

P

……………………10分

19．解：

連接BD交AC于O，則BD⊥AC，

連接A1O

在△AA1O中，AA1=2，AO=1，

∠A1AO=60°

∴A1O2=AA12+AO2－2AA1?Aocos60°=3

∴AO2+A1O2=A12

∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥

平面ABCD，

所以A1O⊥底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

則

∴BD⊥AA1……………………4分

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C

∴平面AA1C1C的法向量

設(shè)⊥平面AA1D

則

得到……………………6分

所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP//平面DA1C1

設(shè)

則

得……………………9分

設(shè)

則設(shè)

得到……………………10分

又因為平面DA1C1

則?

即點P在C1C的延長線上且使C1C=CP……………………12分

法二：在A1作A1O⊥AC于點O，由于平面AA1C­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD，

又底面為菱形，所以AC⊥BD

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      ……………………4分
      （Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
      ∴AO=AA1?cos60°=1
      所以O(shè)是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以
      O也是BD中點
      由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
      過O作OE⊥AA1于E點，連接OE，則AA1⊥DE
      則∠DEO為二面角D―AA1―C的平面角
      ……………………6分
      在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
      ∴AC=AB=BC=2
      ∴AO=1，DO=
      在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=
      DE=
      ∴cos∠DEO=
      ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分
      （Ⅲ）存在這樣的點P
      連接B1C，因為A1B1ABDC
      ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。
      ∴A1D//B1C
      在C1C的延長線上取點P，使C1C=CP，連接BP……………………10分
      因B­1­BCC1，……………………12分
      ∴BB1CP
      ∴四邊形BB1CP為平行四邊形
      則BP//B1C
      ∴BP//A1D
      ∴BP//平面DA1C1
      20．解：
      （Ⅰ）
      令……………………2分
      當(dāng)是增函數(shù)
      當(dāng)是減函數(shù)……………………4分
      ∴……………………6分
      （Ⅲ）（i）當(dāng)時，，由（Ⅰ）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
      ……………………7分
      又當(dāng)時，所以的圖象在上有公共點，等價于…………8分
      解得…………………9分
      （ii）當(dāng)時，上是增函數(shù)，
      ∴
      所以原問題等價于
      又
      ∴無解………………11分
       
       
       
       
       
       
      		
      
	
	
      
		
      


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