題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過點(diǎn)(2,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為,由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得
.
因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
所以
所以.解得。
解:⑴設(shè)橢圓的方程為,由題意得
解得,故橢圓的方程為.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得
.
因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
所以
所以.
又,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">,即,
所以.
即.
所以,解得.
因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn),所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
已知曲線C:(m∈R)
(1) 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線。
【解析】(1)曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得,所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時(shí),曲線C的方程為,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,
由,得
因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn),所以
即
設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為,則
直線BM的方程為,點(diǎn)G的坐標(biāo)為
因?yàn)橹本€AN和直線AG的斜率分別為
所以
即,故A,G,N三點(diǎn)共線。
設(shè)橢圓 :()的一個(gè)頂點(diǎn)為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 ,過橢圓右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。(1)中橢圓的頂點(diǎn)為,即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對(duì)直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。
解:(1)橢圓的頂點(diǎn)為,即
,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意. --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線為,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直線的方程為或
即或
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