已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線的焦點(diǎn)為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時(shí)，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O焦點(diǎn)在x上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C左、右焦點(diǎn)，M橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=

3

2

，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A，點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂的方程．

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊
形周長等于8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M、N是直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

F1M

-

F2N

=0．設(shè)E是以MN為直徑的圓，試判斷原點(diǎn)O與圓E的位置關(guān)系．