（本題滿分14分）

已知實(shí)數(shù)，曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn))，在曲線 上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，接著過點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，如此下去，可以得到點(diǎn)，，…,,… .  設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：  （）.

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（本題滿分14分）

已知曲線方程為，過原點(diǎn)O作曲線的切線

（1）求的方程；

（2）求曲線，及軸圍成的圖形面積S；

（3）試比較與的大小，并說明理由。

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一、填空題（本大題滿分60分，共12小題，每小題滿分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、選擇題（本大題滿分16分，共4小題，每小題滿分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答題（本大題滿分74，共5小題）

17．解：（1）取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF//PB，

    所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成角或其補(bǔ)角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以異面直線AE和PB所成角的大小為   ………………8分

   （2）因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為  …………10分

       …………12分

18．（本題滿分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本題滿分14分）

    解：設(shè)二次函數(shù)

    ，

    二次函數(shù)

    又∵m、n為正整數(shù)，  …………14分

20．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）當(dāng)由的小等邊三角形，

    共有個(gè)。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比數(shù)列，且是單調(diào)遞增的數(shù)列；

    極限不存在；極限存在，   ………………14分

    雪花曲線的特性是周長無限增大而面積有限的圖形。  ………………16分

   （第3小題酌情給分）

21．（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）

    解：（1）； ………………2分

    聯(lián)立方程； …………3分

    與橢圓M相交。 …………4分

   （2）聯(lián)立方程組

    消去

   （3）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線

    的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側(cè)。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分

    證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交

    命題得證。

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側(cè)”得3分）

   （4）可以類比到雙曲線：設(shè)F₁、F₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：

………………20分

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側(cè)”得3分）

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