（2013•宜春模擬）課題：探求直角梯形剪開后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移操作相關(guān)問題．如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測(cè)得AB=10，AD=8．在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下面的幾個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解決．
觀察計(jì)算：
（1）將△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在CD邊上，此時(shí)，EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A（如圖2），請(qǐng)你求出AE和FG的長(zhǎng)度．
探索發(fā)現(xiàn)：
（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點(diǎn)與B重合時(shí)停止．在平移過程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個(gè)過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)重疊部分面積為20時(shí)，平移距離x的值（如圖3）．
（3）在（2）的操作中，小明發(fā)現(xiàn)在平移過程中，雖然有時(shí)平移的距離不等，但兩紙片重疊的面積卻是相等的；而有時(shí)候平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．請(qǐng)?zhí)剿鬟@兩種情況下重疊部分面積y的范圍（直接寫出結(jié)果）．

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如圖，點(diǎn)E、F在?ABCD的對(duì)角線BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需添加一個(gè)條件

DF=BE

DF=BE

．（只需寫出一個(gè)結(jié)論，不必考慮所有情況）．

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D是△ABC的BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（B、C點(diǎn)除外），作△ABC的外接圓，點(diǎn)E在劣弧

BC

上．
（1）當(dāng)AD為△ABC的高，且AE經(jīng)過圓心時(shí)（如圖）．求證：AB•AC=AE•AD；
（2）當(dāng)AD與BC不垂直，且AE不過圓心時(shí)，要使（1）中的結(jié)論成立，還需增加一個(gè)什么條件？請(qǐng)說明你的理由．

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一. 填空題（每空4分，共48分）

  1. 請(qǐng)你寫出：（1）一個(gè)比-1大的負(fù)數(shù)：____________；（2）一個(gè)二次三項(xiàng)式：____________。

  2. 請(qǐng)你寫出：（1）經(jīng)過點(diǎn)（0，2）的一條直線的解析式是________________________；（2）經(jīng)過點(diǎn)（0，2）的一條拋物線的解析式是________________________。

  3. 如果菱形的面積不變，它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是x和y，那么y是x的____________函數(shù)。（填寫函數(shù)名稱）

  4. 如圖，△ADE和△ABC有公共頂點(diǎn)A，∠1＝∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：___________，使△ADE∽△ABC。

  5. 有一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，……，當(dāng)按順序從第2個(gè)數(shù)數(shù)到第6個(gè)數(shù)時(shí)，共數(shù)了_______個(gè)數(shù)；當(dāng)按順序從第m個(gè)數(shù)數(shù)到第n個(gè)數(shù)（）時(shí)，共數(shù)了_______個(gè)數(shù)。

  6. 請(qǐng)你在“2，-3，4，-5，6”中任意挑選4個(gè)數(shù)，添加“＋，－，×，÷”和括號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，使其計(jì)算結(jié)果為24，這個(gè)算式是_____________________。

  7. 已知三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)比例式_________________。

  8. 觀察下列各式：；……請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)表示出來：____________________________。

  9. 下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型圖”：

    經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出_______個(gè)“樹枝”。

二. 選擇題（每小題4分，共20分）

  10. 下面四個(gè)圖形每個(gè)均由六個(gè)相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（    ）

  11. 某種細(xì)胞每過30分鐘便由1個(gè)分裂成2個(gè)，經(jīng)過兩小時(shí)，這種細(xì)胞由1個(gè)能分裂成（    ）

    A. 8個(gè)                                B. 16個(gè)                               C. 4個(gè)                                 D. 32個(gè)

  12. 1～54這54個(gè)自然數(shù)排列如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

……

49

50

51

52

53

54

    在這張數(shù)表中任意圈出一個(gè)豎列上相鄰的3個(gè)數(shù)，和不可能是（    ）

    A. 66                                  B. 39                                  C. 40                                  D. 57

  13. 一張長(zhǎng)方形的餐桌四周可坐6人（如圖1），現(xiàn)有35人需圍成一圈，開個(gè)茶話會(huì)，如果按如圖2方式將桌子拼在一起，那么至少需要餐桌（    ）

    A. 14張                               B. 15張                                      C. 16張                               D. 32張

  14. 觀察下列兩組算式：

    （1），

    （2），……

    根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的末位數(shù)字是（    ）

    A. 2                                    B. 4                                    C. 8                                    D. 6

三. 解答題（第15－21題，每題10分，第22題12分，共82分）

  15. 如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)。

    （1）求證：AF⊥CD。

    （2）在你連結(jié)BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請(qǐng)寫出三個(gè)（不要求證明）

  16. 如圖，有一塊半圓形的木板，現(xiàn)要把它截成三角形板塊。三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，另一頂點(diǎn)在上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？（要求畫出示意圖并說明理由）

  17. 已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，A是的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E。

    （1）求證：AB?DA＝CD?BE；

    （2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，使切線EA變?yōu)楦罹�EFA，問具備什么條件時(shí)，原結(jié)論成立？（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）

  18. 某單位搞綠化，要在一塊圓形空地上種四種顏色的花。為了便于管理且美觀，相同顏色的花集中種植，且每種顏色的花所占的面積相同。現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案成軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形。請(qǐng)?jiān)谙旅鎴A中畫出兩種設(shè)計(jì)方案。（只畫示意圖，不寫作法）

  19. 如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD。

    （1）P是上一點(diǎn)（不與C、D重合），求證：∠CPD＝∠COB；

    （2）當(dāng)點(diǎn)P’在劣弧上（不與C，D重合）時(shí)，∠CP’D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

  20. 已知鈍角△ABC（如圖）。你能否將△ABC分割成三個(gè)三角形，使其中之一是等腰三角形，另外的兩個(gè)三角形相似？若能，請(qǐng)畫出分割圖并證明；若不能，請(qǐng)說明理由。

  21. 如圖，△ABC內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及△ABC的頂點(diǎn)A，B，C把原三角形分割成一些三角形（互相不重疊）。

    （1）填寫下表：

△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的個(gè)數(shù)

3

5

……

    （2）原△ABC能否被分割成2004個(gè)三角形？若能，求此時(shí)△ABC內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)？若不能，請(qǐng)說明理由。

 22. 如圖，直徑為13的⊙O’經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，線段OA，OB（OA＞OB）的長(zhǎng)分別是方程的兩根。

    （1）求線段OA，OB的長(zhǎng)；

    （2）已知點(diǎn)C在劣弧上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

    （3）在（2）的條件下，問：⊙O’上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

試題答案

一. 填空題。  1.   2.   3. 反比例  4. ∠D＝∠B  5. 5，

  6.   7.   8.   9. 80

二. 選擇題。  10. C                   11. B          12. C          13. C          14. D

三. 解答題。  15. 證：（1）連結(jié)AC、AD

    （2）AF⊥BE，AF平分BE，BE∥CD

  16. 解：作OC⊥AB交于點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC

    此時(shí)的面積最大

    證明：在上任取一點(diǎn)C’（與C不重合），過C’作CH⊥AB于H

    連AC’、BC’，設(shè)BH＝x，則（圓半徑為R）

    當(dāng)時(shí)，的最大值為，C’H最大為R

    ∴必有

  17. 證：（1）連結(jié)AC

    AE切⊙O于A

    A是的中點(diǎn)

    ABCD內(nèi)接于⊙O

    （2）具備條件：（或BF＝DA，或∠BAF＝∠DCA，或FA∥BD等）

    就能使原結(jié)論成立

  18.

    AB⊥CD于O點(diǎn)

    AB⊥CD于O，分別以半徑為直徑畫半圓。

  19. 證：（1）

    （2）互補(bǔ)

    證：CP’DP是⊙O的內(nèi)接四邊形

    已證：∠CPD＝∠COB

  20. 解：能，作∠CAE＝∠B，∠BAD＝∠C

    則△ABD∽△CAE

    ∴∠1＝∠2

    ∴△ADE為等腰三角形

  21. （1）

△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的個(gè)數(shù)

3

5

7

9

……

2n+1

    （2）若△ABC能被分割成2004個(gè)三角形

    則

    不是整數(shù)

    ∴故原三角形不能被分割成2004個(gè)三角形

  22. 解：（1）連結(jié)AB

    ∵∠AOB為Rt∠

    ∴AB為直徑

    又OA、OB是方程的兩根

    又

    解<2>、<3>式得：

    （OA＞OB）

    （2）連結(jié)O’C交OA于E

    ∴O’C⊥OA

    ∴C點(diǎn)坐標(biāo)（6，-4）

    （3）P不存在

    若假設(shè)存在

    則由C（6，-4），B（0，5）

    得BC直線的解析式為

    又∵⊙O’上到x軸距離的最大值為9

    ∴點(diǎn)P不在⊙O’上

    ∴不存在點(diǎn)P

    使