如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=

1

18

x²-

4

9

x-10與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC、現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（3）當(dāng)t∈（0，

9

4

）時(shí)，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²-x-10與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC、現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（3）當(dāng)t∈（0，）時(shí)，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數(shù)．
注意：在下面橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內(nèi)，過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵
∴EG⊥側(cè)面AC₁；取AC的中點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵
∴BF⊥側(cè)面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．
③∵
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵
∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數(shù)．
注意：在下面橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內(nèi)，過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵_(dá)_____
∴EG⊥側(cè)面AC₁；取AC的中點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵_(dá)_____
∴BF⊥側(cè)面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．
③∵_(dá)_____
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵_(dá)_____
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵_(dá)_____
∴，即．