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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分16分)已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）若函數(shù)有三個零點，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得，試求的取值范圍.

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(本小題滿分16分) 設(shè)為實數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，求不等式的解集.

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(本小題滿分16分)

按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產(chǎn)品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關(guān)于、的表達式；當(dāng)時，求證：=；

(2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

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(本小題滿分16分)已知⊙和點.

（Ⅰ）過點向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線截得的弦長4的⊙的方程；

（Ⅲ）設(shè)為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

 

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(本小題滿分16分)已知⊙和點.

（Ⅰ）過點向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為   4的⊙的方程；

（Ⅲ）設(shè)為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若點P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

 

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15. 解: (Ⅰ)因為,∴,則…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   則 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因為,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點的位置滿足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因為側(cè)面底面,,且,

所以,則…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因為,所以的面積為()………………………(2分)

   設(shè)正方形的邊長為,則由,得,

解得,則…………………………………………………………………(6分)

   所以,則 ………………(9分)

   (Ⅱ)因為,所以……………(13分)

   當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時.所以當(dāng)長為時,有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………………………(3分)

則圓的方程為,將點的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為………(5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且…………………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)…(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,得 ………(11分)

  因為點的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因為…………………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………………(9分)

 從而當(dāng)時,,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因為,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數(shù)……………………………………………………………………(12分)

   因為,,所以

   ①當(dāng)時,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當(dāng)時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………………………………(14分)

③當(dāng)時,,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時,,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時,有唯一的適合題意；當(dāng)時,有兩個適合題意…………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即可得到相應(yīng)的的個數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………………(12分)

則,

…………………………………………(14分)

則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立……………(16分)

 

 

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因為PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結(jié)AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設(shè),則有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因為且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：……………………………………………(2分)

   可化為…………………………………………………………(5分)

在上任取一點A,則點A到直線的距離為

,它的最大值為4 ……………………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，…(2分)

（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為

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