題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)在
處取得極值2.
⑴ 求函數(shù)的解析式;
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)
又f(x)在x=1處取得極值2,所以,
所以
第二問中,
因為,又f(x)的定義域是R,所以由
,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有
,得
解:⑴ 求導(dǎo),又f(x)在x=1處取得極值2,所以
,即
,所以
…………6分
⑵ 因為,又f(x)的定義域是R,所以由
,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有
,得
, …………9分
當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞減,則有
得
…………12分
.綜上所述,當(dāng)時,f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增,當(dāng)
時,f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞減;則實數(shù)m的取值范圍是
或
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實數(shù)x只有一個.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=
-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=
-1, ∴
=
=
=
,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1=
,∴b1=
-1=
,
bn=b1qn-1=n-1=
n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-
=
,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=+
+…+
<
+
+…+
==1-
<1(n∈N*).
(本題滿分14分)
(1)a >0,b>0,若為
與
的等比中項,求
的最小值
(2)已知x>2,求f(x)=的值域.
【解】
(本題滿分14分)
(1)a 〉0,b〉0,若為
與
的等比中項,求
的最小值
(2)已知x>2,求f(x)=的值域.
【解】
(本題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)=sin(2x-)-1, 設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且c=
,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)與向量n=(2,sinB)共線,求a,b
【解】
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