（湖北理21）（本小題滿分14分）

已知m，n為正整數(shù).

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：當x>-1時，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）對于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整數(shù)n.

 (2012年高考廣東卷理科20)（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由。

（本小題滿分14分）為研究我校高二年級的男生身高，隨機抽取40名男生，實測身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）如下：

171      173    163    169    166    167    168.5  160    170    165

175      169    167    156    165.5 168    170    184    168    174

165      170    174    161    177     175.5  173    164    175    171.5

176      159    172    181    175.5  165    163    173    170.5  171

（I）依據(jù)題目提示作出頻率分布表；

（Ⅱ）在（I）的條件下畫出頻率分布直方圖并且畫出其頻率分布折線圖；

（Ⅲ）試利用頻率分布的直方圖估計樣本的平均數(shù)。

【解】（I）最低身高156cm，最高身高184cm，確定組距為4，作頻率分布表如下：

身高（cm）	頻數(shù)累計	頻數(shù)	頻率（％）

 

 

（Ⅱ）頻率直方圖如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（本小題滿分14分）為研究我校高二年級的男生身高，隨機抽取40名男生，實測身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）如下：

171      173    163    169    166    167    168.5  160    170    165

175      169    167    156    165.5 168    170    184    168    174

165      170    174    161    177     175.5  173    164    175    171.5

176      159    172    181    175.5  165    163    173    170.5  171

（I）依據(jù)題目提示作出頻率分布表；

（Ⅱ）在（I）的條件下畫出頻率分布直方圖并且畫出其頻率分布折線圖；

（Ⅲ）試利用頻率分布的直方圖估計樣本的平均數(shù)。

【解】（I）最低身高156cm，最高身高184cm，確定組距為4，作頻率分布表如下：

身高（cm）	頻數(shù)累計	頻數(shù)	頻率（％）

 

 

（Ⅱ）頻率直方圖如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.

（I）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；

（II）若點是曲線上的動點.當時，設函數(shù)的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（III）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當時，試寫出一個條件，使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.【說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.】