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如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】(Ⅰ)因為
又是平面PAC內的兩條相較直線,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)設AC和BD相交于點O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱錐的體積為.
【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明,考查空間角的應用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積
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