題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上,有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水.某日凌晨,已知蓄水池有水9千噸,水廠計(jì)劃在當(dāng)日每小時(shí)向蓄水池注入水2千噸,且每小時(shí)通過管道向所管轄區(qū)域供水千噸.
(1)多少小時(shí)后,蓄水池存水量最少?
(2)當(dāng)蓄水池存水量少于3千噸時(shí),供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象,那么當(dāng)日出現(xiàn)這種情況的時(shí)間有多長?
【解析】第一問中(1)設(shè)小時(shí)后,蓄水池有水千噸.依題意,當(dāng),即(小時(shí))時(shí),蓄水池的水量最少,只有1千噸
第二問依題意, 解得:
解:(1)設(shè)小時(shí)后,蓄水池有水千噸.………………………………………1分
依題意,…………………………………………4分
當(dāng),即(小時(shí))時(shí),蓄水池的水量最少,只有1千噸. ………2分
(2)依題意, ………………………………………………3分
解得:. …………………………………………………………………3分
所以,當(dāng)天有8小時(shí)會出現(xiàn)供水緊張的情況
已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(2)若函數(shù),若在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中,利用導(dǎo)數(shù),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),所以 內(nèi)滿足恒成立,得到結(jié)論第二問中,在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,等價(jià)于不等式 在[1,e]上有解,轉(zhuǎn)換為不等式有解來解答即可。
解:(1),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),
所以 內(nèi)滿足恒成立,即恒成立,
亦即,
即可 又
當(dāng)且僅當(dāng),即x=1時(shí)取等號,
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
(2)在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,等價(jià)于不等式 在[1,e]上有解,設(shè)
上的增函數(shù),依題意需
實(shí)數(shù)k的取值范圍是
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