已知函數(shù)f(x)=

a2x+1

3x-1

(a∈N)，方程f（x）=-2x+7有兩個根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3．
（1）求自然數(shù)a的值及f（x）的解析式；
（2）記等差數(shù)列{a_n}和等差數(shù)列{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，且

Sn

Tn

=f(n)，(n∈N*)，設g(n)=

an

bn

，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；
（3）在（2）小題的條件下，若a₁=10，寫出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項，并探究在數(shù)列{a_n}和{b_n}中是否存在相等的項？若有，求這些相等項從小到大排列所成數(shù)列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

設f(x)=

1+ax

1-ax

a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）設關于x的方程求loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在區(qū)間[2，6]上有實數(shù)解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（Ⅲ）當0＜a≤

1

2

時，試比較|

n

k=1

f(k)-n|與4的大小，并說明理由．

已知函數(shù)f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若a=1，設g（x）=f（x）+kx，且不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）在（I）的條件下，將函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱得到函數(shù)φ（x）的圖象，再將函數(shù)φ（x）的圖象向右平移3個單位向下平移4個單位得到函數(shù)w（x）的圖象，試確定函數(shù)w（x）的單調(diào)性并根據(jù)單調(diào)性證明ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．