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如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=

3

，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內的射影G是否在直線EF上，證明你的結論，并求角θ的余弦值．

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一．選擇

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

B

A

C

A

D

B

C

B

A

B

二．填空

13．      14. 0      15.100     16.  ②③④

三。解答題

17．（滿分10分）

（1）    ，∴，∴

    （5分）

（2）

      ，∴f（x）的值域為           （10分）

18．解：（1）拿每個球的概率均為，兩球標號的和是3的倍數有下列4種情況：

（1，2），（1，5），（2，4），（3，6）每種情況的概率為：

所以所求概率為：   （6分）

（2）設拿出球的號碼是3的倍數的為事件A，則，，拿4次至少得2分包括2分和4分兩種情況。

，，      （12分）

19 （滿分12分）

解法一：（Ⅰ）取BC中點O，連結AO．

為正三角形，．……３分

 連結，在正方形中，分別為的中點，

由正方形性質知，．………５分

又在正方形中，，

平面．……６分

（Ⅱ）設AB₁與A₁B交于點，在平面₁BD中，

作于，連結，由（Ⅰ）得．

為二面角的平面角．………９分

在中，由等面積法可求得，………１０分

又，．

所以二面角的大小為．……１２分

解法二：（Ⅰ）取中點，連結．取中點，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

……３分

，．

平面．………６分

（Ⅱ）設平面的法向量為．．

令得為平面的一個法向量．……９分

由（Ⅰ）為平面的法向量．……１０分

．

所以二面角的大小為．……１２分

20．（滿分12分）解：（I），

      ①                   …2分

，

又

即，      ②                                      …4分

            ③                                     … 6分

聯立方程①②③，解得                         … 7分

   （II）

                             … 9分

令

x

（－∞，－3）

－3

（－3，1）

1

（1，+∞）

f′(x)

+

0

－

0

+

f(x)

極大

極小

    故h(x)的單調增區(qū)間為（－∞，－3），（1，+∞），單調減區(qū)間為（－3，1）

21．（滿分12分）

解：（1）∵，∴.

∴（）.

∴（）.

∴（）.

∴（）.                    …3分

∴數列等比，公比，首項，

而，且，∴.

∴.  

∴.                                …6分

（2）

.

，        ①

∴2.       ②

①-②得 -，

            ，                                   …9分

∴.                                               …12分

22．（滿分12分）

解：⑴設Q（x₀，0），由F（-c，0）                              

A（0，b）知

                                       …2分

設，得                            …4分

因為點P在橢圓上，所以                             …6分

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故橢圓的離心率e=      …8分

⑵由⑴知，

于是F（－a，0）， Q

△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a                        …10分

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為  …12分