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題目列表(包括答案和解析)

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人）另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果如下表1和表2．
表1
生產(chǎn)能力分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人數(shù) 8 x 3 2
表2
生產(chǎn)能力分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人數(shù) 6 y 27 18
（Ⅰ）先確定x、y的值，再補(bǔ)齊下列頻率分布直方圖．

（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”？
生產(chǎn)能力分組 [110，130） [130，150） 合計(jì)
A類工人
B類工人
合計(jì)
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k） 0，05 0.025 0.01 0.005
k 3.841 5.024 6.635 7.879

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如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線A′B和直線AC、CC′、C′A所成的角的大小分別是α、β、γ，則α、β、γ的大小關(guān)系是（　�。�

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（2012•武昌區(qū)模擬）通過(guò)隨機(jī)詢問110名性別不同的行人，對(duì)過(guò)馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
男 女 總計(jì)
走天橋 40 20 60
走斑馬線 20 30 50
總計(jì) 60 50 110
由K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，算得K2=
110×(40×30-20×20)2
60×50×60×50
≈7.8
參照獨(dú)立性檢驗(yàn)附表，得到的正確結(jié)論是（　�。�

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設(shè)向量
a
=（1，cos2θ），
b
=（2，1），
c
=（4sinθ，1），
d
=（
1
2
sinθ，1）．
（1）若θ∈（0，
π
4
），求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范圍；
（2）若θ∈[0，π），函數(shù)f（x）=|x-1|，比較f（
a
•
b
）與f（
c
•
d
）的大�。�

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“中國(guó)式過(guò)馬路”存在很大的交通安全隱患．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國(guó)式過(guò)馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān)，從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：
男性 女性 合計(jì)
反感 10
不反感 8
合計(jì) 30
已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國(guó)式過(guò)馬路”的路人的概率是
8
15
．
（Ⅰ）請(qǐng)將上面的列表補(bǔ)充完整（在答題卡上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過(guò)程），并據(jù)此資料分析反感“中國(guó)式過(guò)馬路”與性別是否有關(guān)？（x2=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，當(dāng)Χ2＜2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量性別有關(guān)）
（Ⅱ）若從這30人中的女性路人中隨機(jī)抽取2人參加一活動(dòng)，記反感“中國(guó)式過(guò)馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題，每小題5分，

滿分50分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

C

B

D

A

D

D

C

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共5小題，每小

題5分，滿分20分．其中14～15題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

11. ；    12. 1， 2n-1；          13. 80；   14.；       15.1.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加

學(xué)校的演講比賽.

(1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.

解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：

a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；

b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種.                    ……4分

(1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為.  ……8分

(2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，

故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.           ……12分                            

17.(本小題滿分14分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．

(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值．

 

解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得，                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S△ABC=acsinB=4，                             ……8分

 ∴，  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，

∴.……14分

18.(本小題滿分14分) 如圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A= AB=2.

(1)求證: BC⊥平面A1AC；

(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.

 

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，

且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC,                  ……2分

∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA1⊥BC，                ……4分

∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，

ACÌ平面AA1 C，

                            ∴BC⊥平面AA1C.           ……6分

 

(2)解法1：設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2) ,                     ……7分

故(0<x<2),

……9分

 

即. ……11分

∵0<x<2，0<x2<4，∴當(dāng)x2=2，即時(shí)，

三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                       ……14分

解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4，                  ……7分

                ……9分

.               ……11分

當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AC=BC=.

∴三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

設(shè)A(x1，x2)、B(x2，y2)是拋物線x2=4y上不同的兩點(diǎn)，且該拋物線在點(diǎn)A、B處的兩條切線相交于點(diǎn)C，并且滿足.

(1)求證：x1?x2=－4；

(2)判斷拋物線x2=4y的準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(1) 證明：由x2=4y得，則，

∴拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)、B(x2，y2)處的切線的斜率分別為，

……2分

∵，∴，                            ……4分

∴拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)、B(x2，y2)處兩切線互相垂直，

∴，∴x1?x2=－4.                             ……6分

(2) 解法1: ∵，∴，

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，                            ……8分

∵拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1, ∴點(diǎn)D到直線

y=－1的距離為，                       ……10分

∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑，

由于x12=4y1，x22=4y2，且x1?x2=－4，則，

∴

，

即

，                         ……12分

∴d=r，∴拋物線x2=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

解法2:由(1)知拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)處的切線的斜率為

又x12=4y1，∴切線AC所在直線方程為，

即                              ①      ……8分

同理可得切線BC所在直線方程為  ②

由①，②得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)yC=－1，即

……10分

∵，∴，

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，

∵拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1,

∴點(diǎn)D到直線y=－1的距離為，            ……12分                 

∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑r=|CD|=，

∴d=r，∴拋物線x2=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

20. (本小題滿分12分)

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N*)

(1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫出f(x)的解析式；

(2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))

解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí)，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，

令f(x)≥g(x)，則，解得，

所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)33≤x≤492時(shí)，f(x)<g(x).

故                 ……6分

當(dāng)1≤x≤32時(shí)，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，

則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時(shí))；       ……8分

當(dāng)33≤x≤49時(shí)，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，

則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時(shí))； ……10分

∵h(yuǎn)(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32.        ……12分

21. (本小題滿分14分)

已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，且a1=1.

(1)求證：數(shù)列{ an－×2n}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，問是否存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，

∴                                        ……2分

由an+an+1=2n，得，故數(shù)列

是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]

，                        ……8分

要使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，

即對(duì)任意n∈N*都成立.

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2n－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分

 

 

 

 


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