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題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說(shuō)明理由．
（Ⅱ）設(shè){cn}為首項(xiàng)是c1，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{cn}中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列{cn}中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c1=md”．

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（Ⅰ）在如圖的坐標(biāo)系中作出同時(shí)滿足約束條件：x+y-1≥0；x-y+1≥0；4x+y-2≥0的可行性區(qū)域；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)x，y滿足（Ⅰ）中約束條件，求目標(biāo)函數(shù)
x+yx
的取值范圍．精英家教網(wǎng)

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（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知△ABC的面積S=
1
2
，
AB
•
AC
=3，且cosB=
3
5
，求cosC．

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（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知cosα=-
4
5
，α∈(π，
3
2
π)，tanβ=-
1
3
，β∈(
π
2
，π)，cos(α+β)，求cos（α+β）．

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20、（Ⅰ）求y=4x-2x+1的值域；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程4x-2x+1+a=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1C、 2C、 3B、 4C、 5C、 6D、 7A、 8B、 9C、 10D、 11A、 12A

二、填空題（每小題4分，共16分）

13）5   14）2.6   15）48   16）①③④

三、解答題（本題共6小題，滿分共74分）

17、解：（1）因?yàn)?sub>。

所以1―2     ……………2分

所以

因?yàn)?sub>

所以   ……………………………6分

（2）……8分

因?yàn)?/p>

…10分

所以，原式………………………12分

18、解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，………3分

（Ⅱ）（方法一）記輸入n時(shí)，①中輸出結(jié)果為，②中輸出結(jié)果為’則

……………5分

所以

…………

……………8分

（方法二）猜想    ……………5分

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=k

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

所以當(dāng) n=k+1時(shí)，結(jié)論成立

故對(duì)，都有成立  ………………8分

     因?yàn)?sub>……………10分

所以

       ……………………………12分

19、解：（方法一）證明：設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接MO，OF

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形

所以AC⊥BD，AO=CO

又因?yàn)榫匦蜛CEF，EM=FM，

所以MO⊥AO

因?yàn)檎叫蜛BCD和矩形ACEF所

在平面垂直

平面ABCD平面ACEF=AC

所以MO⊥平面ABCD

所以AM⊥BD

在,

所以BD=

所以AO=1，

所以四邊形OAFM是正方形，所以AM⊥OF

因?yàn)?sub>              …………………6分

 

 

（Ⅱ）設(shè)AM、OF相交于Q，過(guò)A作AR⊥DF于R，連接QR，因?yàn)锳M⊥平面BDF，

所以QR⊥DF，則∠ARQ為二面角A―DF―B的平面角…………………9分

Rt△ADF中，AF=1，AD=，所以

Rt△AQR中，QR

所以二面角A―DF―B的余弦值為        ………………………12分

（方法二）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C―xyz，連接BD則A（，，0），B（0，，0）。

D（，0，0）

F（，，1），M（，，1）

所以

所以

所以所以AM⊥平面BDF…………6分

（Ⅱ）平面ADF的法向量為

平面BDF的法向量………………8分

    ……………………11分

所以二面角A―DF―B的余弦值為。    ……………………12分

20、解：設(shè)該人參加科目A考試合格和補(bǔ)考為時(shí)間，參加科目B考試合格和補(bǔ)考合格為時(shí)間相互獨(dú)立。

（Ⅰ）設(shè)該人不需要補(bǔ)考就可獲得證書為事件C，則C=

（Ⅱ）的可能取值為2，3，4.

則P（

  P

  P      …………………8分

所以，隨即變量的分布列為

  

2

3

4

P

所以      ………………12分

21、解：（Ⅰ）設(shè)所求雙曲線C的方程為-=1，

由題意得：

所以，所求曲線C的方程為          ……………3分

（Ⅱ）若弦PQ所在直線斜率K存在，則設(shè)其方程為y=k (x-2)

由

設(shè)點(diǎn)P

解得

此時(shí)點(diǎn)R到y(tǒng)軸的距離

而當(dāng)弦PQ所在直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)R到Y(jié)軸的距離為2，

所以，點(diǎn)R到Y(jié)軸距離的最小值為2。        ………………8分

（Ⅲ）因?yàn)橹本�L:x=m與以PQ為直徑的圓相切

所以雙曲線離心率e=，右準(zhǔn)線方程為

所以|PQ|=|PF|+|QF|=2

所以，所以

因?yàn)?sub>       ………………12分

22、解：（1）因?yàn)?sub>

所以

取BC的中點(diǎn)D，則

因?yàn)?sub>

所以，點(diǎn)0在BC邊的中線上                ……………………………4分

（Ⅱ）因?yàn)?

所以

所以

所以

所以               ………………………………5分

因?yàn)?sub>

又

=

所以       ……………………8分

因?yàn)?sub>

所以            …………………………………10分

（Ⅲ）由題意知

在(0,+∞)上恒成立。

令h(x)=

所以

所以h(x)在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，所以 h(x)>h(0)=1   …………………13分

所以     …………14分

 

 


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